2009屆安徽高考信息交流試卷
數(shù)學（理科）試題
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷為第1至第2頁，第Ⅱ卷為第3壘第4頁．全卷滿分150分，考試時問120分鐘．
考生注意事項：
1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的座位號、姓名．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“考場座位號、姓名”與考生本人考場座位號、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后．再選出其他答案標號．第Ⅱ卷用0．5毫米的黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．
3．考試結束，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一井收回．
參考公式：
如果事件（A、B}互斥，那么 球的表面積公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件（A、B}相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
P（A?B）=P（A）?P（B） 球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么 
n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷 （選擇題 共55分）
一、選擇題：本大題共11題，每小題5分，共55分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知函數(shù)
=
（x≠2），則其反函數(shù)
的一個單調(diào)遞減區(qū)間是
A．（－∞，十∞） B．（－3，+∞）
C．（3，+∞） D．以上都不對
2．已知p：不等式
>
的解集為R；q：=
為減函數(shù)，則p成立是q成立的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．對于任意直線
與平面
，在平面內(nèi)必有直線與
A．平行 B．相交 C．垂直 D．互為異面直線
4．已知
，其中、b是實數(shù)．
是虛數(shù)單位，則
A．
B．
C．
D．2
5．設全集U=R，集合M=
，N=
，則下列關系式中正確的是
A．M∩N∈M B．M∪N
M
C．M∪N=R D．（
M）∩N=
6．已知函數(shù)
=，則
A．函數(shù)圖像關于直線
對稱 B．函數(shù)圖像關于點（
，0）對稱
C．函數(shù)在區(qū)間
上遞減 D．函數(shù)在區(qū)間
上遞增
7．給出平面區(qū)域（圖中陰影部分）作為可行域．其中A（5，3），B（2，1），C（1，5）。若目標函數(shù)
（>0）取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個．則的值為
A．4 B．2
C．
D．
8．已知三棱錐S―ABC的四個頂點在以O為球心的同一球面上，且SA=SB=SC=AB，∠ACB=90。，則當球的表面積為400時。點O到平面ABC的距離為
A．4 B．
9．設P是橢圓
上的一點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，且
，
，則點P到該橢圓左準線的距離為
A．
B．3
C．4 D．6
10．若
，且
，則P（
|）的值為
A．
B．
C．
D．
l1．若函數(shù)y=
滿足
=，且
時，=
，則函數(shù)
的圖像與函數(shù)
的圖像交點個數(shù)是
A．2 B．
第Ⅱ卷 （非選擇題 共95分）
（用0．
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題卡的相應位置．
12．設
，則
_________________．
13．已知向量
=（1，1），
=（1，－1），
=（
）（∈R），實數(shù)
滿足
,則
的最大值為_____________．
14．一個無窮等比數(shù)列的公比為q，滿足0<q<l，前
項和為
，且它的第4項與第8項之和等與
，第5項與第7項之積等與
，則
=_________________。
15．如圖，正方體ABCD―
的棱長為1，M是
的中點，則下列四個命題：
①直線
與平面
所成的角等于45°；
②四面體
在正方體六個面內(nèi)的攝影圖形面積的最小值為；
③點M到平面的距離是；
④BM與
所成的角為
，其中真命題的序號是____________________。
三、解答題：本大題共6小題，共79分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
在周長為6的△ABC中，∠A、∠B 、∠C所對的邊分別為
，若成等比數(shù)列；
（1）求B的取值范圍；
（2）求△ABC的面積S的最大值；
（3） 當△ABC的面積S最大時，過△ABC的重心G作直線交邊AB于M，交邊AC與N，設∠AGM=
，
試證：
。
17．（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐P－ABCD中，PB⊥底面
，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點E在棱PA上，且PE=2EA。
（1）求異面直線PA與CD所成的角；
（2）求證：PC∥平面EBD；
（3）求二面角A－BE－D的大小。
18．（本小題滿分12分）
一次智力競賽中，共分三個環(huán)節(jié)：選答、搶答、風險選答，在第一環(huán)節(jié)“選答”中．每個選手可以從6道題（其中4道選擇題，2道操作題）中任意選3道題作答，答對每道題可得100分；在第二環(huán)節(jié)“搶答”中，一共為參賽選手準備了5道搶答題．答對一道得1 00分，在每一道題的搶答中，每位選手搶到的概率是相等的；在第三環(huán)節(jié)“風險選答”中，一共為選手準備了A、B、C 三類不同的題目，選手每答對一道A類、B類、C類的題目將分別得到300分、200分、100分，但如果答錯，則相應地要扣除300分、200分、100分．而選手答對一道A類、B類、C類題目的概率分別是0．6、0．7、0．8，現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手參加比賽，試求：
（1）乙選手在第一環(huán)節(jié)中，至少選中一道操作題的概率；
（2）甲選手在第二環(huán)節(jié)中搶到的題數(shù)多于乙選手而不多于丙選手的概率；
（3）在第三環(huán)節(jié)中，就每道題而言，丙選手選擇哪類題目得分的期望值更大．
19．（本小題滿分I 3分）
某容器中裝有濃度為r％的溶液ml，倒出
ml后，再倒入濃度為p％的溶液ml（P>r）攪勻，如此反復操作，設第n次操作后溶液的濃度為
％，第n+1次操作后溶液的濃度為
％．
（1）求與的關系式；
（2）求第n次操作后溶液的濃度％；
（3）記：
。求數(shù)列
的前n項和
。
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
在
上單調(diào)遞減，
在
上單調(diào)遞增．
（1）求實數(shù)
的值；
（2）求
的最小值；
（3）當＞1時，若
≥
在
上恒成立，求的取值范圍．
21．（本小題滿分I 4分）
已知兩定點A（
，0），B（3，0），動圓M與直線AB相切于點N．且
=4，現(xiàn)分別過點A、B作動圓M的切線（異于直線AB），兩切線相交于點P．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若直線
截動點P的軌跡所得的弦長為5，求m的值；
（3）設過軌跡上的點P的直線與兩直線
，
分別交于點
，
，且點
分有向線段
所成的比為（＞0），當∈
時，求
的最小值與最大值。
2009屆安徽高考信息交流試卷
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
C
D
C
A
C
B
A
D
C
提示與分析：
1．
，故選C。
2．易知p成立，m＜3，q成立，2＜m＜
，從而p成立
成立，故選B。
3．選C
4．由已知得
即
，得
，故選D。
5．易知
,故選C。
6．
，作圖知選A。
7．選C。由題：
。
8．設球半徑為R,由
，由
知，三棱錐頂點S愛底面ABC內(nèi)的攝影D是△ABC的外心，又∠ACB=90°，∴D是AB的中點，點O到ABC的距離h=OD，設SA=SB=SC=AB=2
，可得
，或h=10（舍），故選B。
9．由題設易知M是PF的中點，設橢圓右焦點為
，由
知，
=8,
，又易知該橢圓的離心率
，再由橢圓第二定義得，點P到橢圓左準線的距離
，故選A。
10．由
，∴
故選D。
11．由題設知
是周期為2的周期函數(shù)，由
時，
，可作出再R上的簡圖，又
是偶函數(shù)，再作出簡圖，則可確定兩圖像的交點個數(shù)，故選C。
二、填空題
12．112 13．9 14．32 15．①②④
提示與分析：
12．令
得
，再分別令
得兩式，再相加可得
，從而得知
。
13．由題得：
，
得：
，而
可看作是單位圓上的點（m，n）到點（2，0）的距離，則易知，
的最大值為9．
14．由題設知，
又0＜q＜1則得
，∴
15．如圖，①知直線BC與面
所成的角即為∠
,故①正確。
②易知四面體
在四個側面的攝影圖形面積均最小，為正方形面積之半，故②正確
③點M到平面的距離，即為點
到平面的距離。其等于
，故③不正確。
④易知BM與
所成的角，即為BM與
所成的角，設∠
∠
易知
，
，即
，故④正確。
三、解答題
16．（1）由題設知：
再由余弦定理得：
當且僅當
時取等號，故所求B的取值范圍是
（3分）
（2）∵
，∴
，
∴0＜b
，當且僅當時，
∴
∴
（6分）
（3）由（1）（2）易知，當△ABC的面積S最大時，△ABC是邊長為2的正△，此時易知
∠
∠
在△AGM中，由正弦定理得：
則
在△AGN中，同理可得：
（10分）
∴
（或用降次公式化簡）
（12分）
17．解法一：
（1）由PB⊥面ABCD，CD⊥PD知CD⊥BD
在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB=AD=3,
∴BD=
，BC=6
取BC的中點F，連結AF，則AF∥CD，
∴PA與CD所成的角就是∠PAF （4分）
連PF由題設易知AF=PF=PA=,
∴∠PAF=60°即為所求 （6分）
（2）連AC交BD于G，連EG，易知
,
又
∴
，∴PC∥EG,又EG
面EBD，∴PC∥面EBD （10分）
（3）∵PB⊥面ABCD，∴AD⊥PB，
又AD⊥AB，∴AD⊥面EAB
作AH⊥BE于H，連DH，則DH⊥BE, （12分）
在△AEB中，易求得BE=
，
在
△DAH中，
∠
即所求二面角的大小為
（14分）
解法二：（1）如圖建立空間直角坐標系
，設
則A（0,3,0）,P（0,0,3）D（3,3,0）,C（，0，0），
=
∵
，∴
，
即：3（3-）+9=0
（2分）
∴
∴
∴
，即異面直線PA與CD所成的交為60°
（6分）
（2）設平面BED的法向量為
∵
由
得
，∴
（12分）
又由（1）知
，∴
，∴PC∥面EBD （10分）
（3）由（2）知
又平面ABE的法向量
，
故所求二面角的大小為
（14分）
18．（1）在第一環(huán)節(jié)中，乙選手從6道題目中任選3道至少有1道操作題的概率
（4分）
（2）在第二環(huán)節(jié)中，甲搶到的題目多于乙選手而不多于丙選手的情況有以下三種：
甲、乙、丙三位選手搶到的題目的個數(shù)分別為1，0，4；2，0，3；2，1，2，
故所求的概率
（8分）
（3）在第三個環(huán)節(jié)中，就每一次答題而言，丙選手得分是一個隨機變量
，
若選A類題，其得分的期望是
（分）
若選B類題，其得分的期望是
（分）
若選C類題，其得分的期望是
（分）
由于
＞
=
,故丙應選B類得分的切望值更大。（12分）
19．（1）依題意可得：
（4分）
（2）由
當
時，
，則
∴
，∴
即第
次操作后溶液的濃度為
（9分）
（3）由（2）可得：
則
由錯位相減法可求得：
故所求
（13分）
20．（1）由
＜0，
＞
，∴
又
＞
＜
，∴
從而有 
（4分）
（2）由（1）可知，
故
，則
令
＞
∵
＞
得
＞，∴＞
令＜∵＞，解得＜＜
列表：
（0，1）
1
（1，+∞）
－
0
+
↓
0
↑
即 在
處有最小值0 （8分）
（3）由
易知
時，
＜
∴
為減函數(shù)，其最小值為1
令
在
上單增，其最大值為
依題意得：
又＞
∴＜
（14分）
21．（1）由題設及平面幾何知識得：
＜
,
∵動點P的軌跡是以A、B為交點的雙曲線右支，
由
故所求P點的軌跡方程為：
（4分）
（2）易知 直線
恒過雙曲線焦點B（3，0）
設該直線與雙曲線右支相交于
由雙曲線第二定義知，
又
∴
，則
，
由
得
，從而易知，僅當
時，
滿足
故所求 （8分）
（3）設
，且p分有向線段
所成的比為
，
則
，
，
又點
在雙曲線
上，∴
化簡得：
又
∴
（11分）
令
∵
在上單減，在
上單增，
又
，∴在
上單減，在
上單增，∴
又
，∴
故所求
的最小值為9，最大值為
。 （14分）
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