現(xiàn)有甲、乙兩個項(xiàng)目，對甲項(xiàng)目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價格下降的概率都是,設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對乙項(xiàng)目每投資十萬元, 取0、1、2時, 一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機(jī)變量、分別表示對甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤.

(I)  求、的概率分布和數(shù)學(xué)期望、;

(II)  當(dāng)時,求的取值范圍.

(20) (本小題滿分14分)

已知點(diǎn),是拋物線上的兩個動點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求P的值。

21．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數(shù)列，，且a＞0,d＞0.設(shè)［1-］上，，在，將點(diǎn)A， B， C

   (I)求

(II)若ㄓABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a ,d的值

22．（本小題滿分12分）

     已知,其中,設(shè),.

(I) 寫出;

(II) 證明:對任意的,恒有.

2006年高考試題遼寧卷理科數(shù)學(xué)試題

一. 選擇題

(2)    設(shè)集合,則滿足的集合B的個數(shù)是（  ）

(A)1    (B)3    (C)4   (D)8

【解析】，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個。故選擇答案C。

【點(diǎn)評】本題考查了并集運(yùn)算以及集合的子集個數(shù)問題，同時考查了等價轉(zhuǎn)化思想。

(2) 設(shè)是R上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是

(A)是奇函數(shù)  (B)是奇函數(shù)  

(C) 是偶函數(shù)  (D) 是偶函數(shù)

【解析】A中則，

即函數(shù)為偶函數(shù)，B中，此時與的關(guān)系不能確定，即函數(shù)的奇偶性不確定，

C中，，即函數(shù)為奇函數(shù)，D中，

，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選擇答案D。

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的定義和函數(shù)的奇偶性的判斷，同時考查了函數(shù)的運(yùn)算。

(3) 給出下列四個命題:

    ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.

③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.

④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.

其中假命題的個數(shù)是

(A)1    (B)2    (C)3   (D)4

【解析】利用特殊圖形正方體我們不難發(fā)現(xiàn)①、②、③、④均不正確，故選擇答案D。

【點(diǎn)評】本題考查了空間線面的位置關(guān)系以及空間想象能力，同時考查了立體幾何問題處理中運(yùn)用特殊圖形舉例反證的能力。

(4) 雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是

(A)    (B)   (C)    (D)

【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個三角形區(qū)域時有。

【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的漸近線方程以及線性規(guī)劃問題。

(5) 設(shè)+是R上的一個運(yùn)算,A是R的非空子集,若對任意有+,則稱A對運(yùn)算+封閉,下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是

(A)自然數(shù)集   (B)整數(shù)集    (C)有理數(shù)集   (D)無理數(shù)集

(15) 5名乒乓球隊(duì)員中,有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1、2、3號參加團(tuán)體比賽,則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員,且1、2號中至少有1名新隊(duì)員的排法有_______種.(以數(shù)作答)

【解析】兩老一新時, 有種排法;

兩新一老時, 有種排法,即共有48種排法.

【點(diǎn)評】本題考查了有限制條件的排列組合問題以及分類討論思想.

(16) 若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為,則=______

【解析】不妨認(rèn)為一個正四棱柱為正方體,與正方體的所有面成角相等時,為與相交于同一頂點(diǎn)的三個相互垂直的平面所成角相等,即為體對角線與該正方體所成角.故.

【點(diǎn)評】本題考查了直線與平面所成角的定義以及正四棱柱的概念,充分考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

(17) (本小題滿分12分)

已知函數(shù)，.求:

(I) 函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；

(II) 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

【解析】(I) 解法一:

當(dāng),即時, 取得最大值.

函數(shù)的取得最大值的自變量的集合為.

解法二:

當(dāng),即時, 取得最大值.

函數(shù)的取得最大值的自變量的集合為.

(II)解:

由題意得:

即:

因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.

【點(diǎn)評】本小題考查三角公式,三角函數(shù)的性質(zhì)及已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識,考查綜合運(yùn)用三角有關(guān)知識的能力.

(18) (本小題滿分12分)]

已知正方形.、分別是、的中點(diǎn),將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為.

(I) 證明平面;

(II)若為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值.

【解析】(I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn),

EB//FD,且EB=FD,

四邊形EBFD為平行四邊形.

BF//ED

平面.

(II)解法1:

如右圖,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,

過點(diǎn)A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GD.

ACD為正三角形,

AC=AD

CG=GD

G在CD的垂直平分線上,

點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,

過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即

設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF

在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF為直角三角形,

在RtADE中,

.

解法2:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上

連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)作,垂足為.

ACD為正三角形,F為CD的中點(diǎn),

又因,

所以

又且

為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.

即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上

過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即

設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF

在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF為直角三角形,

在RtADE中,

.

解法3: 點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上

連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過點(diǎn)作,垂足為.

ACD為正三角形,F為CD的中點(diǎn),

又因,

所以

又

為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.

即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影在直線EF上

過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即

設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF

在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF為直角三角形,

在RtADE中,

,

.

【點(diǎn)評】本小題考查空間中的線面關(guān)系,解三角形等基礎(chǔ)知識考查空間想象能力和思維能力.

(19) (本小題滿分12分)

現(xiàn)有甲、乙兩個項(xiàng)目，對甲項(xiàng)目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價格下降的概率都是,設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對乙項(xiàng)目每投資十萬元, 取0、1、2時, 一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機(jī)變量、分別表示對甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤.

(I)  求、的概率分布和數(shù)學(xué)期望、;

(II)  當(dāng)時,求的取值范圍.

【解析】

(I)解法1: 的概率分布為

1.2

1.18

1.17

P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

由題設(shè)得,則的概率分布為

0

1

2

P

故的概率分布為

1.3

1.25

0.2

P

所以的數(shù)學(xué)期望為

E=++=.

解法2: 的概率分布為

1.2

1.18

1.17

P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

設(shè)表示事件”第i次調(diào)整,價格下降”(i=1,2),則

P(=0)= ;

P(=1)=;

P(=2)=

故的概率分布為

1.3

1.25

0.2

P

所以的數(shù)學(xué)期望為

E=++=.

(II)  由,得:

因0<p<1,所以時,p的取值范圍是0<p<0.3.

【點(diǎn)評】本小題考查二項(xiàng)分布、分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識,考查同學(xué)們運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力.

(20) (本小題滿分14分)

已知點(diǎn),是拋物線上的兩個動點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求p的值。

【解析】(I)證明1:

整理得:

設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則

即

整理得:

故線段是圓的直徑

證明2:

整理得:

……..(1)

設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則

即

去分母得:

點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

證明3:

整理得:

……(1)

以線段AB為直徑的圓的方程為

展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則

又因

所以圓心的軌跡方程為

設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則

當(dāng)y=p時,d有最小值,由題設(shè)得

.

解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則

又因

所以圓心的軌跡方程為

設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則

因?yàn)閤-2y+2=0與無公共點(diǎn),

所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個公共點(diǎn)時,該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為

將(2)代入(3)得

解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則

圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則

又因

當(dāng)時,d有最小值,由題設(shè)得

.

【點(diǎn)評】本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算,圓與拋物線的方程.點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,以及綜合運(yùn)用解析幾何知識解決問題的能力.

21．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數(shù)列，，且a＞0,d＞0.設(shè)［1-］上，，在，將點(diǎn)A， B， C

   (I)求

(II)若ㄓABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a ,d的值

【解析】(I)解:

令,得

當(dāng)時, ;

當(dāng)時,

所以f(x)在x=-1處取得最小值即

(II)

的圖像的開口向上,對稱軸方程為

由知

在上的最大值為

即

又由

當(dāng)時, 取得最小值為

由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸,所以

又由三角形ABC的面積為得

利用b=a+d,c=a+2d,得

聯(lián)立(1)(2)可得.

解法2:

又c>0知在上的最大值為

即:

又由

當(dāng)時, 取得最小值為

由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸,所以

又由三角形ABC的面積為得

利用b=a+d,c=a+2d,得

聯(lián)立(1)(2)可得

【點(diǎn)評】本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,等差數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力

22．（本小題滿分12分）

     已知,其中,

設(shè),.

(I) 寫出;

(II) 證明:對任意的,恒有.

【解析】(I)由已知推得,從而有

(II) 證法1:當(dāng)時,

當(dāng)x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)

因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù)

所以對任意的

因此結(jié)論成立.

證法2: 當(dāng)時,

當(dāng)x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)

因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù)

所以對任意的

又因

所以

因此結(jié)論成立.

證法3: 當(dāng)時,

當(dāng)x>0時, ,所以在[0,1]上為增函數(shù)

因函數(shù)為偶函數(shù)所以在[-1,0]上為減函數(shù)

所以對任意的

由

對上式兩邊求導(dǎo)得

因此結(jié)論成立.

【點(diǎn)評】本小題考查導(dǎo)數(shù)的基本計(jì)算,函數(shù)的性質(zhì),絕對值不等式及組合數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查歸納推理能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.