題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).(
)
(1)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方,求
的取值范圍.
【解析】第一問中,首先利用在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則
在區(qū)間
上恒成立,然后分離參數(shù)法得到
,進(jìn)而得到范圍;第二問中,在區(qū)間
上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
則在區(qū)間
上恒成立. …………3分
即,而當(dāng)
時(shí),
,故
.
…………5分
所以.
…………6分
(2)令,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061918574873515193/SYS201206191859562664899842_ST.files/image016.png">.
在區(qū)間上,函數(shù)
的圖象恒在曲線
下方等價(jià)于
在區(qū)間
上恒成立.
∵ …………9分
① 若,令
,得極值點(diǎn)
,
,
當(dāng),即
時(shí),在(
,+∞)上有
,此時(shí)
在區(qū)間
上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有
,不合題意;
當(dāng),即
時(shí),同理可知,
在區(qū)間
上遞增,
有,也不合題意;
…………11分
② 若,則有
,此時(shí)在區(qū)間
上恒有
,從而
在區(qū)間
上是減函數(shù);
要使在此區(qū)間上恒成立,只須滿足
,
由此求得的范圍是
. …………13分
綜合①②可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)
的圖象恒在直線
下方.
已知,(其中
)
⑴求及
;
⑵試比較與
的大小,并說明理由.
【解析】第一問中取,則
;
…………1分
對(duì)等式兩邊求導(dǎo),得
取,則
得到結(jié)論
第二問中,要比較與
的大小,即比較:
與
的大小,歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)
時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
猜想:當(dāng)時(shí),
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。
解:⑴取,則
;
…………1分
對(duì)等式兩邊求導(dǎo),得,
取,則
。 …………4分
⑵要比較與
的大小,即比較:
與
的大小,
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
…………6分
猜想:當(dāng)時(shí),
,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
由上述過程可知,時(shí)結(jié)論成立,
假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即
,
當(dāng)時(shí),
而
∴
即時(shí)結(jié)論也成立,
∴當(dāng)時(shí),
成立。
…………11分
綜上得,當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
已知遞增等差數(shù)列滿足:
,且
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
;
(2)若不等式對(duì)任意
恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)
的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為
,
由題意可知,即
,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問中,不等式等價(jià)于
,利用當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;而
,所以猜想,
的最小值為
然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為
,由題意可知
,即
,
解得或
(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價(jià)于,
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;
而,所以猜想,
的最小值為
. …………8分
下證不等式對(duì)任意
恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí),
,成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式
成立,
當(dāng)時(shí),
,
…………10分
只要證 ,只要證
,
只要證 ,只要證
,
只要證 ,顯然成立.所以,對(duì)任意
,不等式
恒成立.…14分
方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
, …………10分
, …………12分
所以對(duì),都有
,可知數(shù)列
為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以
恒成立,
故的最小值為
.
汕頭二中擬建一座長(zhǎng)米,寬
米的長(zhǎng)方形體育館.按照建筑要求,每隔
米(
,
為正常數(shù))需打建一個(gè)樁位,每個(gè)樁位需花費(fèi)
萬元(樁位視為一點(diǎn)且打在長(zhǎng)方形的邊上),樁位之間的
米墻面需花
萬元,在不計(jì)地板和天花板的情況下,當(dāng)
為何值時(shí),所需總費(fèi)用最少?
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。先求需打個(gè)樁位.再求解墻面所需費(fèi)用為:
,最后表示總費(fèi)用
,利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性,求解最值。
解:由題意可知,需打個(gè)樁位.
…………………2分
墻面所需費(fèi)用為:,……4分
∴所需總費(fèi)用(
)…7分
令,則
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
∴當(dāng)時(shí),
取極小值為
.而在
內(nèi)極值點(diǎn)唯一,所以
.∴當(dāng)
時(shí),
(萬元),即每隔3米打建一個(gè)樁位時(shí),所需總費(fèi)用最小為1170萬元.
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線
在點(diǎn)
處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中,利用當(dāng)時(shí),
.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(
),
則
,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即
即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),
.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(),
則
,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即
. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
……12分
要使恒成立,則
,解得
.……15分
解法二:
……7分
(1)當(dāng)時(shí),
在
上恒成立,
故在
上單調(diào)遞增,
即
.
……10分
(2)當(dāng)時(shí),令
,對(duì)稱軸
,
則在
上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即
時(shí),
在
上恒成立,
所以在
單調(diào)遞增,
即
,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),
,
不合題意,舍去 14分
綜上所述:
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