如圖，已知四棱錐的底面ABCD為正方形，平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大�。�

【解析】第一問利用線面垂直的判定定理和建立空間直角坐標系得到法向量來表示二面角的。

第二問中，以A為原點，如圖所示建立直角坐標系

，，

設(shè)平面FAE法向量為，則

，，

 

如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱．

�。ǎ保┣笕�棱錐的體積；

�。ǎ玻┣笾本�與平面所成角的正弦值；

　（３）若棱上存在一點，使得，當二面角的大小為時，求實數(shù)的值．

【解析】（1）在中，

.                 （3’）

（2）以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

       （4’）

,設(shè)平面的法向量為，

由得，                                             （5’）

則，

.  （7’）

（3）

設(shè)平面的法向量為，由得，      （10’）

 

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.