設(shè)f(k)是滿足不等式log2x+log2(3?2k-1-x)≥2k-1的正整數(shù)x的個數(shù).的解析式,(2)記Sn=f,Pn=n2+n-1試比較Sn與Pn的大小. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)f(k)是滿足不等式log2x+log2(3·2k-1-x)≥2k-1(k∈N*)的自然數(shù)x的個數(shù).

(1)求f(k)的表達(dá)式;

(2)記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),Pn=n2+n-1,當(dāng)n≤5時試比較Sn與Pn的大小.

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設(shè)f(k)是滿足不等式log2x+log2(3·2k-1-x)≥2k-1(k∈N)的自然數(shù)的個數(shù).

(1)求f(k)的解析式;

(2)記Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),求Sn的解析式;

(3)令Pn=n2+n-1(n∈N*),試比較Sn與Pn的大小.

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設(shè)f(k)是滿足不等式log2x+log2(3×2k-1-x)≥2k-1(k∈N+)的自然數(shù)x的個數(shù).

(1)求f(k)的解析式;

(2)記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式;

(3)令Pn=n2+n-1(n∈N+),試比較Sn與Pn的大小.

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設(shè)f(x)是定義在區(qū)間上以2為周期的函數(shù),對,用表示區(qū)間已知當(dāng)時,f(x)=x2.

(1)求f(x)在上的解析表達(dá)式;

(2)對自然數(shù)k,求集合不等的實根}

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(文)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)≥k2成立時,總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命題總成立的是

A.若f(1)<1成立,則f(10)<100成立

B.若f(2)<4成立,則f(1)≥1成立

C.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時,均有f(k)≥k2成立

D.若f(4)≥25成立,則當(dāng)k≥4時,均有f(k)≥k2成立

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一、1.C  2.B  3.B  4.C  5.D  6.D    二、7.180°

8.1+

9.(1+  10.(2)(3)  11.兩邊同乘以

三、12.證明:(1)當(dāng)n=1時,a1=<1,不等式成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥1)時,不等式成立,即ak=<1

亦即1+22+33+…+kk<(k+1)k

當(dāng)n=k+1時

ak+1=

==()k<1.

∴n=k+1時,不等式也成立.

由(1)、(2)知,對一切n∈N*,不等式都成立.

13.證明:(1)當(dāng)n=1時,一個圓把平面分成兩個區(qū)域,而12-1+2=2,命題成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥1)時,命題成立,即k個圓把平面分成k2-k+2個區(qū)域.

當(dāng)n=k+1時,第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點,這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧,而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分,因此增加了2k個區(qū)域,共有k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2個區(qū)域.

∴n=k+1時,命題也成立.

由(1)、(2)知,對任意的n∈N*,命題都成立.

14.解:(1)∵log2x+log2(3?2k-1-x)≥2k-1

,解得2k-1≤x≤2k, ∴f(k)=2k-2k-1+1=2k-1+1

(2)∵Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+22+…+2n-1+n=2n+n-1

∴Sn-Pn=2n-n2

n=1時,S1-P1=2-1=1>0;n=2時,S2-P2=4-4=0

n=3時,S3-P3=8-9=-1<0;n=4時,S4-P4=16-16=0

n=5時,S5-P5=32-25=7>0;n=6時,S6-P6=64-36=28>0

猜想,當(dāng)n≥5時,Sn-Pn>0

①當(dāng)n=5時,由上可知Sn-Pn>0

②假設(shè)n=k(k≥5)時,Sk-Pk>0

當(dāng)n=k+1時,Sk+1-Pk+1=2k+1-(k+1)2=2?2k-k2-2k-12(2k-k2)+k2-2k-1

=2(Sk-Pk)+k2-2k-1>k2-2k-1=k(k-2)-1≥5(5-2)-1=14>0

∴當(dāng)n=k+1時,Sk+1-Pk+1>0成立

由①、②可知,對n≥5,n∈N*,Sn-Pn>0成立即Sn>Pn成立

由上分析可知,當(dāng)n=1或n≥5時,Sn>Pn

當(dāng)n=2或n=4時,Sn=Pn

當(dāng)n=3時,Sn<Pn.   

 


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