題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分18分,其中第1小題5分,第2小題5分,第3小題8分)
在平面直角坐標(biāo)系中,已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,其中
且
.設(shè)
.
(1)若,
,
,求方程
在區(qū)間
內(nèi)的解集;
(2)若點(diǎn)是過點(diǎn)
且法向量為
的直線
上的動點(diǎn).當(dāng)
時,設(shè)函數(shù)
的值域?yàn)榧?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052111495710937700/SYS201205211152429218217731_ST.files/image019.png">,不等式
的解集為集合
. 若
恒成立,求實(shí)數(shù)
的最大值;
(3)根據(jù)本題條件我們可以知道,函數(shù)的性質(zhì)取決于變量
、
和
的值. 當(dāng)
時,試寫出一個條件,使得函數(shù)
滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)
對稱,且在
處
取得最小值”.(說明:請寫出你的分析過程.本小題將根據(jù)你對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次,給予不同的評分.)
(本題滿分18分)(理)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.
已知函數(shù)是
圖像上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
的點(diǎn)
滿足
(
為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求證:為定值;
(2)若,
求的
值;
(3)在(2)的條件下,若,
為數(shù)列
的前
項(xiàng)和,若
對一切
都成立,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(2)小題8分)
已知雙曲線C:的一個焦點(diǎn)是
,且
。
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的直線
的一個法向量為
,當(dāng)直線
與雙曲線C的右支相交于
不同的兩點(diǎn)時,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;并證明
中點(diǎn)
在曲線
上。
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線C的右支相交于
兩點(diǎn),問是否存在實(shí)數(shù)
,使得
為銳角?若存在,請求出
的范圍;若不存在,請說明理由。
(本題滿分18分,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分)
已知函數(shù),其中
.
(1)當(dāng)時,設(shè)
,
,求
的解析式及定義域;
(2)當(dāng),
時,求
的最小值;
(3)設(shè),當(dāng)
時,
對任意
恒成立,求
的取值范圍.
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
在平行四邊形中,已知過點(diǎn)
的直線與線段
分別相交于點(diǎn)
。若
。
(1)求證:與
的關(guān)系為
;
(2)設(shè),定義函數(shù)
,點(diǎn)列
在函數(shù)
的圖像上,且數(shù)列
是以首項(xiàng)為1,公比為
的等比數(shù)列,
為原點(diǎn),令
,是否存在點(diǎn)
,使得
?若存在,請求出
點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
(3)設(shè)函數(shù)為
上偶函數(shù),當(dāng)
時
,又函數(shù)
圖象關(guān)于直線
對稱, 當(dāng)方程
在
上有兩個不同的實(shí)數(shù)解時,求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
一、填空題:
1.
,均有x 2+ x +1≥0 2.第一象限 3.充分而不必要條件 4. 0.01
5. 4 6. 2550 7. 8.①④ 9. R(S1+S2+S3+S4)
10.
,11.
12.1
13.
14.
二、解答題:
15.(Ⅰ)因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故第四組的頻率:
3′
直方圖如右所示 6′
(Ⅱ)依題意,60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組,頻率和為
所以,抽樣學(xué)生成績的合格率是
%.. 9 ′
利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分
=
=71
估計(jì)這次考試的平均分是71分 12′
16.(1)證明:連結(jié)BD.
在長方體中,對角線
.
又 E、F為棱AD、AB的中點(diǎn),
.
.
又B1D1平面,
平面
,
EF∥平面CB1D1. 6′
(2) 在長方體
中,AA1⊥平面A1B
AA1⊥B1D1.
又在正方形A1B
B1D1⊥平面CAA
又 B1D1平面CB1D1,
平面CAA
17. (1)由得
4′
由正弦定理得
6′
8′
(2)
=
10′
=
12′
由(1)得
15′
18.(1)設(shè)C:+=1(a>b>0),設(shè)c>0,c2=a2-b2,由條件知a-c=,=,
∴a=1,b=c=,
故C的方程為:y2+=1 5′
(2)由=λ,
∴λ+1=4,λ=3 或O點(diǎn)與P點(diǎn)重合= 7′
當(dāng)O點(diǎn)與P點(diǎn)重合=時,m=0
當(dāng)λ=3時,直線l與y軸相交,則斜率存在。
設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)
得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
Δ=(
x1+x2=, x1x2= 11′
∵=3 ∴-x1=3x2 ∴
消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3()2+4=0
整理得4k
m2=時,上式不成立;m2≠時,k2=,
因λ=3 ∴k≠0 ∴k2=>0,∴-1<m<- 或 <m<1
容易驗(yàn)證k2>
即所求m的取值范圍為(-1,-)∪(,1)∪{0} 16′
19. ⑴由題意得
4′
(n≥2),
又∵,
數(shù)列
是以
為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列。 8′
[則(
)]
⑵由及
得
,
11′
則
13′
16′
20. (1)設(shè)
∴
∴
由
又∵ ∴
∴ 6′
于是
由得
或
; 由
得
或
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
和
,
單調(diào)減區(qū)間為和
10′
(2)證明:據(jù)題意且x1<x2<x3,
由(1)知f (x1)>f (x2)>f (x3),
14′
即ㄓ是鈍角三角形.
18′
第Ⅱ部分 加試內(nèi)容
一.必答題:
1.(1)記事件A為“任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”,由題意知
4′
(2)ξ可取1,2,3,4.
,
; 8′
故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
P
答:ξ的數(shù)學(xué)期望為
10′
2.(1)由得
,
求得
3′
(2)猜想
5′
證明:①當(dāng)n=1時,猜想成立。 6′
②設(shè)當(dāng)n=k時時,猜想成立,即
, 7′
則當(dāng)n=k+1時,有,
所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立 9′
③綜合①②,猜想對任何都成立。
10′
二、選答題:
3.(1)∵DE2=EF?EC,
∴DE : CE=EF: ED.
∵ÐDEF是公共角,
∴ΔDEF∽ΔCED. ∴ÐEDF=ÐC.
∵CD∥AP, ∴ÐC=Ð P.
∴ÐP=ÐEDF.----5′
(2)∵ÐP=ÐEDF, ÐDEF=ÐPEA,
∴ΔDEF∽ΔPEA. ∴DE : PE=EF : EA.即EF?EP=DE?EA.
∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E,∴DE?EA=CE?EB.∴CE?EB=EF?EP. 10′
4.(矩陣與變換)
解:.
,
5′
橢圓在
的作用下的新曲線的方程為
10′
5.(1)直線的參數(shù)方程為,即
. 5′
(2)把直線代入
,
得,
,
則點(diǎn)到
兩點(diǎn)的距離之積為
.
10′
6.
7′
當(dāng)且僅當(dāng) 且
F有最小值
10′
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