(Ⅱ)若不等的正整數(shù)成等差數(shù)列.試比較與的大小, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,前n項和為Sn,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,S5=a32
(1)求{an}的通項公式.
(2)求證:對于任意的正整數(shù)m,l,數(shù)列am,am+l,am+2l都不可能為等比數(shù)列.
(3)若對于任意給定的正整數(shù)m,都存在正整數(shù)l,使數(shù)列am,am+l,am+kl為等比數(shù)列,求正常數(shù)k的取值集合.

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等差數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù),a1=3,前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}中,b1=1,且b2•S2=16,{ban}是公比為4的等比數(shù)列
(1)求an與bn
(2)設Cn=
1
S1
+
1
S2
+
1
S2
+…+
1
Sn
,若對任意正整數(shù)n,當m∈[-1,1]時,不等式t2-2mt+
3
4
>Cn恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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等差數(shù)列{ an}中a3=7,a1+a2+a3=12,記Sn為{an}的前n項和,令bn=anan+1,數(shù)列{
1
bn
}的前n項和為Tn
(1)求an和Sn;
(2)求證:Tn
1
3
;
(3)是否存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列?若存在,求出m,n的值,若不存在,說明理由.

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等差數(shù)列{an}的首項和公差都是
23
,記{an}前n項和為Sn.等比數(shù)列{bn}各項均為正數(shù),公比為q,記{bn}的前n項和為Tn
(Ⅰ) 寫出Si(i=1,2,3,4,5)構成的集合A;
(Ⅱ) 若q為正整數(shù),問是否存在大于1的正整數(shù)k,使得Tk,T2k同時為集合A中的元素?若存在,寫出所有符合條件的{bn}的通項公式;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ) 若將Sn中的整數(shù)項按從小到大的順序構成數(shù)列{cn},求{cn}的一個通項公式.

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等差數(shù)列{ an}中a3=7,a1+a2+a3=12,記Sn為{an}的前n項和,令bn=anan+1,數(shù)列{數(shù)學公式}的前n項和為Tn
(1)求an和Sn
(2)求證:Tn數(shù)學公式;
(3)是否存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列?若存在,求出m,n的值,若不存在,說明理由.

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一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,計70分.

1.         2.       3.         4.25         5.         6.

7.            8.③               9.6              10.50%(填0.5,都算對)

11.          12.<              13.12             14.

二、解答題:本大題共6小題,計90分.

15.解:(Ⅰ)當時,點P共有28個,而滿足的點P有19個,

從而所求的概率為………………………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)當時,由構成的矩形的面積為,而滿足

的區(qū)域的面積為,故所求的概率為……………………………………(14分)

16.證:(Ⅰ)連接,連接.

分別是的中點,∴=,∴四邊形是矩形.

的中點………………………………………………………………………………(3分)

又∵的中點,∴……………………………………………………………(5分)

則由,,得………………………………………(7分)

(注:利用面面平行來證明的,類似給分)

(Ⅱ) ∵在直三棱柱中,⊥底面,∴.

又∵,即,∴⊥面………………………(9分)

,∴……………………………………………………………(12分)

,∴平面……………………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)由,得

,所以………………………………………………(4分)

,所以……………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)方案一:選擇①③.

∵A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,所以,則根據(jù)余弦定理,

,解得b=,則c=…………………(11分)

…………………………………(14分)

方案二:選擇②③. 可轉(zhuǎn)化為選擇①③解決,類似給分.

(注:選擇①②不能確定三角形)

18. 解:(Ⅰ),即,

  ,準線,……………………………………………………(2分)

  設⊙C的方程為,將O、F、A三點坐標代入得:

,解得………………………………………………………(4分)

∴⊙C的方程為……………………………………………………(5分)

(Ⅱ)設點B坐標為,則,整理得:

對任意實數(shù)都成立……………………………………………(7分)

,解得,

故當變化時,⊙C經(jīng)過除原點O外的另外一個定點B……………………………(10分)

(Ⅲ)由B、,

 ∴,解得……………………………………………(12分)

   又 ,∴………………………………………………………………(14分)

又橢圓的離心率)……………………(15分)

 ∴橢圓的離心率的范圍是………………………………………………………(16分)

19. (Ⅰ)證:因為對任意正整數(shù),總成立,

,得,則…………………………………………(1分)

,得  (1) , 從而   (2),

(2)-(1)得,…………………………………………………………………(3分)

綜上得,所以數(shù)列是等比數(shù)列…………………………………………(4分)

(Ⅱ)正整數(shù)成等差數(shù)列,則,所以,

……………………………………………………(7分)

①當時,………………………………………………………………(8分)

②當時,…………………………(9分)

③當時,……………………(10分)

(Ⅲ)正整數(shù)成等比數(shù)列,則,則,

所以,……………(13分)

①當,即時,……………………………………………(14分)

②當,即時,………………………………(15分)

③當,即時,………………………………(16分)

20. 解: (Ⅰ)當時,.

因為當時,,,

,

所以當時,,且……………………………………(3分)

由于,所以,又,

故所求切線方程為,

…………………………………………………………………(5分)

   (Ⅱ) 因為,所以,則  

                                                          

  

時,因為,,

所以由,解得,

從而當時, ……………………………………………(6分)

①     當時,因為,,

所以由,解得,

從而當時, …………………………………………(7分)

③當時,因為,

從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)

綜上得,當且僅當時,,

…………………………………………(9分)

從而當時,取得最大值為…………………………………………………(10分)

(Ⅲ)“當時,”等價于“恒成立”,

即“(*)對恒成立” ……………………………………(11分)

①     當時,,則當時,,則(*)可化為

,即,而當時,,

所以,從而適合題意………………………………………………………………(12分)

②     當時,.

⑴     當時,(*)可化為,即,而,

所以,此時要求

 

…………………………………………………………(13分)

⑵        當時,(*)可化為,

所以,此時只要求………………………………………………………(14分)

(3)當時,(*)可化為,即,而,

所以,此時要求…………………………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶,得符合題意要求.

 綜合①②知,滿足題意的存在,且的取值范圍是………………………………(16分)

 

 

數(shù)學附加題部分

21.A.解:因為PA與圓相切于點A,所以.而M為PA的中點,

所以PM=MA,則.

,所以,所以……………………(5分)

中,由,

,所以,

從而……………………………………………………………………………(10分)

B.解:,所以=……………………………(5分)

即在矩陣的變換下有如下過程,,

,即曲線在矩陣的變換下的解析式為……(10分)

C.解:由題設知,圓心,故所求切線的直角坐標方程

……………………………………………………………………………(6分)

      從而所求切線的極坐標方程為………………………………(10分)

D.證:因為,利用柯西不等式,得…………………………(8分)

  即………………………………………………………………………(10分)

22.解: (Ⅰ)以A為原點,AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz,

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),P(0,0,1),

所以,……………………………(4分)

故異面直線BE與PC所成角的余弦值為……………………………………(5分)

(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延長線)于M,作CN⊥BE交BE(或延長線)于N,

則存在實數(shù)m、n,使得,

因為,所以

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