題目列表(包括答案和解析)
( 14 分) 受轎車(chē)在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響, 企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車(chē)的利潤(rùn)與該轎車(chē)首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān),某轎車(chē)制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車(chē),保修期均為 2 年,現(xiàn)從該廠已售出的兩 種品牌轎車(chē)中隨機(jī)抽取 50 輛,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
將頻率視為概率,解答下列問(wèn)題:
(I)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車(chē)中隨機(jī)抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;
(II)若該廠生產(chǎn)的轎車(chē)均能售出,記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車(chē)的利潤(rùn)為 ,生產(chǎn)一輛乙品牌轎 車(chē)的利潤(rùn)為 ,分別求 , 的分布列 ;
(III)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車(chē)銷(xiāo)量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一 種品牌轎 車(chē),若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車(chē)?說(shuō)明理由.
(本小題滿分14分)
因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車(chē)上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據(jù)環(huán)保部門(mén)的建議,現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑.已知每投放,且個(gè)單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時(shí)間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.
若多次投放,則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),
當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時(shí),它才能起到有效治污的作用.
(Ⅰ)若一次投放4個(gè)單位的藥劑,則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天?
(Ⅱ)若第一次投放2個(gè)單位的藥劑,6天后再投放個(gè)單位的藥劑,要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取1.4).
(本小題滿分14分)
有一隧道既是交通擁擠地段,又是事故多發(fā)地段.為了保證安全,交通部門(mén)規(guī)定,隧道內(nèi)的車(chē)距正比于車(chē)速的平方與車(chē)身長(zhǎng)的積,且車(chē)距不得小于一個(gè)車(chē)身長(zhǎng)(假設(shè)所有車(chē)身長(zhǎng)均為).而當(dāng)車(chē)速為時(shí),車(chē)距為1.44個(gè)車(chē)身長(zhǎng).
⑴求通過(guò)隧道的最低車(chē)速;
⑵在交通繁忙時(shí),應(yīng)規(guī)定怎樣的車(chē)速,可以使隧道在單位時(shí)段內(nèi)通過(guò)的汽車(chē)數(shù)量最多?
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對(duì)任意 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問(wèn)中,利用當(dāng)時(shí),.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問(wèn)中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時(shí),在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時(shí),令,對(duì)稱軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時(shí),在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若不等式對(duì)任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問(wèn)中,不等式等價(jià)于,利用當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價(jià)于,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對(duì)任意恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí),,成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,
當(dāng)時(shí),, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對(duì)任意,不等式恒成立.…14分
方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式, …………10分
, …………12分
所以對(duì),都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
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