4.實(shí)數(shù)與向量的積

(1)實(shí)數(shù)λ與向量的積：①是個(gè)向量;②模等于③方向λ>0時(shí)與同向,λ<0時(shí)與反向.

(2)數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。

3.向量的減法

(1)相反向量：

關(guān)于相反向量有：　 ①=；　 ②+()=()+=；

③若、是互為相反向量，則=,=,+=。

(2)向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：。求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。

如上圖表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量(、有共同起點(diǎn))。

(3)溫馨提示：①用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量與差向量分別是兩條對(duì)角線,注意方向。

②三角形法則的特點(diǎn)是“順次首尾相接”由此可知,封閉折線的向量和為零.

差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。

2.向量加法:　 設(shè)，

(1)求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法，向量加法按“平行四邊形法則”或“三角形法則”進(jìn)行。

　如圖 +==。 或 　+=

　規(guī)定：；　

(2) 向量加法滿足交換律與結(jié)合律；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量.

可用有向線段表示.記作:…或…等；向量的長(zhǎng)度即向量的模記作||。

(2)零向量：　　　　　　　　　　　　　 其方向：

(3)單位向量：　　　　　　　　　　　　 單位向量不唯一.

(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反方向相同或相反.

規(guī)定：與任意向量平行。

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同.

1理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念　　

2掌握向量的加法和減法

3掌握實(shí)數(shù)與向量的積;理解兩個(gè)向量共線的充要條件 　　　

4．函數(shù)定義域?yàn)?sub>，當(dāng)時(shí)，

令，解得，∴，

又，∴

說明：對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，求上最值可簡(jiǎn)化過程，即直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值比較，即可判定最大(或最小)的函數(shù)值，就是最大(或最小)值．解決這類問題，運(yùn)算欠準(zhǔn)確是普遍存在的一個(gè)突出問題，反映出運(yùn)算能力上的差距．運(yùn)算的準(zhǔn)確要依靠運(yùn)算方法的合理與簡(jiǎn)捷，需要有效的檢驗(yàn)手段，只有全方位的“綜合治理”才能在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上形成運(yùn)算能力，解決運(yùn)算不準(zhǔn)確的弊病．

求兩變量乘積的最大值

例　 已知為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式，求的最大值．

分析：題中有兩個(gè)變量x和y，首先應(yīng)選擇一個(gè)主要變量，將表示為某一變量(x或y或其它變量)的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)(或均值不等式等)求函數(shù)的最大值．

解：解法一：，

∴．

由解得．

設(shè)

當(dāng)時(shí)，

　　　　　　 　　　　．

令，得或(舍)．

∴，又，∴函數(shù)的最大值為．

即的最大值為．

解法二：由得，

設(shè)，

∴，設(shè)，

則

令，得或．

，此時(shí)

∴

即當(dāng)時(shí)，

說明：進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，是一種打開思路，激發(fā)思維，鞏固基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系的重要途徑，但要明確解決問題的策略、指向和思考方法，需要抓住問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟真諦，巧施轉(zhuǎn)化，方可快捷地與熟悉的問題接軌，在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程中，關(guān)鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設(shè)條件，以免解題陷于困境，功虧一簣．

3．．

令，即，解得

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

∴函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，也是最小值為

即．

2．，令，得，

∴，

又．

∴

4．．

分析：函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，必有最大值和最小值，因此，在求閉區(qū)間上函數(shù)的最值時(shí)，只需求出函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值，然后與端點(diǎn)處函數(shù)值進(jìn)行比較即可．

解：1．，令，得，

∴．又

∴

3．