函數(shù)解析式的求解；函數(shù)定義域的求解．

(全國(guó)Ⅰ)設(shè)是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則

(全國(guó)Ⅱ)設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則

(北京)　　　　　　

(福建)復(fù)數(shù)等于

(安徽)若為實(shí)數(shù)，，則等于

　(天津)是虛數(shù)單位，

(四川)復(fù)數(shù)的值是

(江西)化簡(jiǎn)的結(jié)果是

(湖南)復(fù)數(shù)等于

(湖北)復(fù)數(shù)，且，若是實(shí)數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(duì)可以是　　　　　 　　(寫(xiě)出一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)即可)

(上海，)對(duì)于非零實(shí)數(shù)、，以下四個(gè)命題都成立：

　　 ① ；　　　　　　　　　　 ② ；　

　　 ③ 若，則；　　　　 ④ 若，則．

那么，對(duì)于非零復(fù)數(shù)、，仍然成立的命題的所有序號(hào)是　　　　

(重慶)復(fù)數(shù)的虛部為　　　　　 　　

(浙江)已知復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)　 　　　　　

(上海)若復(fù)數(shù)同時(shí)滿足－＝，＝(為虛數(shù)單位)，則＝　　　

(浙江)已知，其中、是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則

(湖北)設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，則　　　　　　

(福建)設(shè)則復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是(　 )

(江西)已知復(fù)數(shù)滿足，則＝

(全國(guó)Ⅰ)如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)

(四川)復(fù)數(shù)的虛部為

　　　　　　 .　　　　 　　　　　　　　　　

(重慶)復(fù)數(shù)的值是　　　　　　

虛數(shù)單位:

它的平方等于，即　;　

實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.

與－1的關(guān)系: 就是的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是.

的周期性：, ,　 ,　 .

復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部.全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母表示，即，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)

復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.這就是說(shuō)，如果，，，，那么,

　復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)

對(duì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，

縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)

建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，

軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).

對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵�點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為， 它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).

復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)

這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法.

復(fù)數(shù)與的和的定義：

復(fù)數(shù)與的差的定義：

復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:

復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:

乘法運(yùn)算規(guī)則：

設(shè)，(、、、)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積

其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類(lèi)似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).

乘法運(yùn)算律：

(1)

復(fù)數(shù)除法定義：滿足的復(fù)數(shù)(、)叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者

除法運(yùn)算規(guī)則：

①設(shè)復(fù)數(shù) (、)，除以 (，)，其商為(、)，

即∵

∴

由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個(gè)方程組，得

于是有:

②利用于是將的分母有理化得：

原式

.

∴(

點(diǎn)評(píng)：①是常規(guī)方法，②是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的的對(duì)偶式，它們之積為是有理數(shù)，而是正實(shí)數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化. 把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法.

共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).

(陜西)是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足≤．

對(duì)任意正數(shù)，若，則必有

≤　 ≤　 ≤ ≤

(江蘇)已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有≥，則的最小值為　 　 　　　 　　

(全國(guó))函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)

(重慶)曲線在點(diǎn)處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為，則　　　　　 　

(全國(guó))已知是正整數(shù)且，求證：

(重慶)已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)．(Ⅰ)試確定的值；(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍．

(海南)設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；

(Ⅱ)若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

(全國(guó)Ⅰ)設(shè)函數(shù)．

(Ⅰ)證明：的導(dǎo)數(shù)；

(Ⅱ)若對(duì)所有都有，求的取值范圍．

(全國(guó)Ⅱ文)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的根有

個(gè)　　　　　　 個(gè)　　　　　　 個(gè)　 　　　　　個(gè)

(鄭州一中等四校聯(lián)考)若函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足不等式

恒成立，且常數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是

求滿足條件的的范圍：

使為上增函數(shù)，則的范圍是　　　　　

使為上增函數(shù)，則的范圍是　　　　　

使為上增函數(shù)，則的范圍是　　　　　

證明方程在上至多有一實(shí)根.

(屆高三陜師大附中八模)如果是二次函數(shù), 且的圖象開(kāi)口向上,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為, 那么曲線上任一點(diǎn)的切線的傾斜角的取值范圍是

(屆廈門(mén)雙十中學(xué)高三月考)如圖，是函數(shù)

的大致圖像，

(天津)函數(shù)的定義域是開(kāi)區(qū)間,

導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)

在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)

個(gè)　 個(gè)　　 個(gè)　　 個(gè)

　 (屆高三哈爾濱第三中學(xué)第一次月考)

函數(shù)的圖象如圖所示，

且，則有

已知：，證明不等式：

設(shè)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定的取值范圍，并求出這三個(gè)單調(diào)區(qū)間

(屆高三福建質(zhì)檢)已知函數(shù)在處取得極值．求實(shí)數(shù)的值；若關(guān)于的方程 在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立．

問(wèn)題1．(屆云南平遠(yuǎn)一中五模)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為　　　　　　　　　

已知，的反函數(shù)為，則

(大連一模)設(shè)均是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

，且，則不等式的解集是

問(wèn)題2．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，并且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為　　　　　

(屆高三浙江上虞市調(diào)研)已知，那么 在區(qū)間上單調(diào)遞增　　　　　 在上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞增　　　　　　　 在上單調(diào)遞增

函數(shù)，

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和極值；

(Ⅱ)若關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

　(Ⅲ)已知當(dāng)時(shí)，≥恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

問(wèn)題3．(天津)已知函數(shù)，其中．

(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．

問(wèn)題4．(湖北)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．(Ⅰ)用表示，并求的最大值；(Ⅱ)求證：≥()．

問(wèn)題5．利用導(dǎo)數(shù)求和：

(, ).

().

利用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:

求;確定在內(nèi)符號(hào);若在上恒成立，則在上是增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù)

①為增函數(shù)(為減函數(shù)).

②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立；

在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立.

極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有，就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作_極大值，是極大值點(diǎn).

極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有就說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作_極小值，是極小值點(diǎn).

極大值與極小值統(tǒng)稱為極值

在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：

()極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小.

()函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極xs大值或極小值可以不止一個(gè).

()極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而>.

()函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn).

當(dāng)在點(diǎn)連續(xù)時(shí)，判別是極大、極小值的方法:

若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值.

求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟:

確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)求方程的根

用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么在這個(gè)根處無(wú)極值.如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn) .

函數(shù)的最大值和最小值: 一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．

說(shuō)明：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒(méi)有最大值與最小值；

函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．

函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．

函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有一個(gè).

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:

由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．

設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的極值；

將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p

求參數(shù)范圍的方法：①分離變量法；②構(gòu)造(差)函數(shù)法.

構(gòu)造函數(shù)法是證明不等式的常用方法：構(gòu)造時(shí)要注意四變?cè)瓌t：變具體為抽象，變常量為變量，變主元為輔元，變分式為整式.

通過(guò)求導(dǎo)求函數(shù)不等式的基本思路是：以導(dǎo)函數(shù)和不等式為基礎(chǔ)，單調(diào)性為主線，最(極值)為助手，從數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等多視角進(jìn)行綜合探索.

(陜西)為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為：明文、、、對(duì)應(yīng)密文，，，.例如：明文對(duì)應(yīng)密文.當(dāng)接收方收到密文時(shí)，則解密得到的明文為

(浙江)函數(shù)：滿足，則這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)

共有　　　 　個(gè)　　　 個(gè)　　　 個(gè)　　　　 個(gè)

(廣東文)對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)和，規(guī)定：，

當(dāng)且僅當(dāng)；運(yùn)算“”為：；

運(yùn)算“”為：，設(shè)，若，

則　　 　　　　　　　　　

(全國(guó))已知，則(　　 )

(山東文)設(shè)，則的值為

(北京)已知函數(shù)，分別由下表給出：

則的值為　　　 　 ；滿足的的值是　　　　　

設(shè)在下圖中,能表示從集合到集合的映射是

已知從集合到集合的映射，則該映射的象集為

　　　以上都不對(duì)

(北京東城模擬)設(shè)映射：是實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，若對(duì)于實(shí)數(shù)，在中不存在原象，則的取值范圍是

設(shè)集合，，定義映射：，使對(duì)任意，都有是奇數(shù)，則這樣的映射的個(gè)數(shù)為

若，則　　 )

已知，則不等式的解集是　　　　　

設(shè)，，：是的映射，

設(shè)，則在中的象是什么？

設(shè)，那么在中的象是什么？

設(shè)，若在映射下的象為，則應(yīng)是多少？在映射的象是什么？

　，，；

，，；

，，．

上述三個(gè)對(duì)應(yīng)　　　　　　 是到的映射．

給定映射，點(diǎn)的原象是　　　　　　　

下列函數(shù)中，與函數(shù)相同的函數(shù)是

設(shè)函數(shù)，則＝　　　　

(湖北八校一聯(lián))設(shè)都是由到的映射，其對(duì)應(yīng)法則如下表(從上到下)：

表一　 映射的對(duì)應(yīng)法則　　　　　　 表二　 映射的對(duì)應(yīng)法則

原象
象

原象
象

則與相同的是 　　　　

(灌云模擬)設(shè)，從到的映射滿足，

試確定這樣的映射的個(gè)數(shù)為