Question

甲乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去．為了平均分配，甲應該補給乙多少元？

Answer 1

考點：完全平方數(shù)性質(zhì)

專題：傳統(tǒng)應用題專題

分析：n頭羊的總價為n²元，因為先由甲拿，到最后甲拿走10元，乙不足10元，因此n²元中含有奇數(shù)個10元，即完全平方數(shù)n²的十位數(shù)字是奇數(shù)．如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6．所以，n²的末位數(shù)字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元．

解答： 解：n頭羊的總價為n×n=n²元，由題意知n²元中含有奇數(shù)個10元，即完全平方數(shù)n²的十位數(shù)字是奇數(shù)．如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6．所以，n²的末位數(shù)字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙：（10+6）÷2-6=2（元）．
答：為了平均分配，甲應該補給乙2元．

點評：此題也可這樣解答：
解：設甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，兩人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整數(shù)）元，
當甲找給乙錢后，甲乙都得到了（5+y）元，甲給了乙10-（5+y）=5-y元，
所以有n²=20x+10+2y，
因為（20x+10）個位為0，2y是完全平方數(shù)的個位數(shù)，2y=1，4，5，6，9，
若2y是奇數(shù)，則2y=1，5，或9，
所以20x+10+2y=20x+11，20x+15或20x+19，
因為20x+11、20x+15、20x+19除以4的余數(shù)都是3，它們不是完全平方數(shù)，
所以2y是偶數(shù)，2y=4或6，y=2或3．
若y=2，n²=20x+14=2（10x+7），右邊不是完全平方數(shù)
所以y=3，
所以甲應該找給乙5-3=2（元）．