Question

4．小學(xué)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)便計(jì)算中，分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)便運(yùn)算是最復(fù)雜的一種，除了使用整、小數(shù)的一些常用技巧以外，還有利用裂項(xiàng)法（即將一個(gè)分?jǐn)?shù)分成兩個(gè)或幾個(gè)分?jǐn)?shù)的差或積，使部分分?jǐn)?shù)互相抵消，從而達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的方法）找對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)等重要方法．（1）觀(guān)察下面的算式：
$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=$\frac{1}{110}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{110}$．
（2）比較上下兩行算式的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？
（3）根據(jù)你的方向計(jì)算下面各題．
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{10×11}$；
②$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$．

Answer 1

分析 通過(guò)觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)將一個(gè)分?jǐn)?shù)分成兩個(gè)或幾個(gè)分?jǐn)?shù)的差或積，使部分分?jǐn)?shù)互相抵消，從而達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的方法，運(yùn)用這種方法，解決問(wèn)題．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=$\frac{1}{110}$；
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{110}$．

（2）發(fā)現(xiàn)：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$，
即分子為1，分母為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積的分?jǐn)?shù)可拆為兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式．

（3）①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{10×11}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$

②$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$++$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$
=1-$\frac{1}{7}$
=$\frac{6}{7}$
故答案為：$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{110}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{110}$．

點(diǎn)評(píng) 此題中的分?jǐn)?shù)形如$\frac{1}{n（n+1）}$，可拆分為$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．運(yùn)用它可進(jìn)行分?jǐn)?shù)的拆分，使計(jì)算簡(jiǎn)便．