Question

8．有一列數(shù)1，3，4，7，11，18，29…（從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)恰好是它前后相鄰兩個(gè)數(shù)之和），這列數(shù)的第2004個(gè)數(shù)被7除的余數(shù)是多少？

Answer 1

分析 由于這些數(shù)之間有著和的規(guī)律，所以我們也可以觀察到它們除以6的余數(shù)也有著和的規(guī)律，它們的余數(shù)規(guī)律也是前面兩個(gè)數(shù)的和為下一個(gè)數(shù)，如果這個(gè)數(shù)超過7則減去7，有了這些規(guī)律我們就可以觀察這列數(shù)的周期性，通過列出余數(shù)，我們可以很容易的得到：這些余數(shù)是有一個(gè)為16的周期，由于2004除以16余數(shù)是4，那么第2004個(gè)余數(shù)和第16個(gè)余數(shù)是一樣的，而第16個(gè)余數(shù)為4，所以2004個(gè)數(shù)被7除余0．

解答 解：1，3，4，7，11，18，29…除以6的余數(shù)分別為：
1、3、4、0、4、4、1、5、6、4、3、0、3、3、6、2，1、3、4、0、4、4、1、5、6、4、3、0、3、3、6、2…
由此可見：16個(gè)為一周期
2004÷16=125…4
所以第2004是第125組第4個(gè)，個(gè)余數(shù)為0
答：這列數(shù)的第2004個(gè)數(shù)被7除的余數(shù)是0．

點(diǎn)評 這個(gè)周期是找出來的，是從題目中的那些數(shù)除以7的余數(shù)中找出來的，它們的余數(shù)也是成相同規(guī)律的，而且這些余數(shù)在0到6之間，那么它們之間就可能會存在一定的周期規(guī)律，通過查找可以得到余數(shù)的周期為16，每一個(gè)周期的余數(shù)情況如上面回答所述，當(dāng)然也有可能找不到周期，如果找不到那么這種方法就不行了，但是這個(gè)題目里的規(guī)律是可以找出來的，一般情況下像這樣的題目都能找到有限的周期的，但是周期可能很大，如果很大那就不適用這種方法，像本題中16的周期，在沒有找到其他方法的情況下，這是可以接受的，而且計(jì)算沒有涉及到很大的數(shù)．