Question

16．?dāng)?shù)列$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$，…
（1）$\frac{1}{10}$是第幾個(gè)數(shù)？
（2）第400個(gè)數(shù)是幾分之幾？

Answer 1

分析 （1）分母是1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分子是1；
分母是2的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，分子是1，2，1；
分母是3的分?jǐn)?shù)有5個(gè)，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分?jǐn)?shù)有7個(gè)；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)分別是1，3，5，7…，當(dāng)分母是n時(shí)有2n-1個(gè)分?jǐn)?shù)；由此求出從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是10的分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)；
分子是自然數(shù)，先從1增加，到分母相同時(shí)再減少到1；因此$\frac{1}{10}$在這個(gè)數(shù)列中應(yīng)該有2個(gè)，求出第一個(gè)$\frac{1}{10}$是第幾個(gè)即可；
（2）分母是1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分子是1；
分母是2的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，分子是1，2，1；
分母是3的分?jǐn)?shù)有4個(gè)，分子是1，2，3，1；
分母是4的分?jǐn)?shù)有5個(gè)；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分?jǐn)?shù)有n+1個(gè)（n＞1），由此規(guī)律進(jìn)一步探究答案即可

解答 解：（1）分母是7的分?jǐn)?shù)一共有；
2×7-1=13（個(gè)）；
從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是10的分?jǐn)?shù)一共：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
=（1+19）×10÷2
=200÷2
=100（個(gè)）；
那么從第100個(gè)分?jǐn)?shù)開(kāi)始依次是：$\frac{1}{10}$…$\frac{9}{10}$所以第一個(gè)$\frac{1}{10}$是第101個(gè)分?jǐn)?shù)．
答：第一次出現(xiàn)的$\frac{1}{10}$是第101個(gè)分?jǐn)?shù)；
（2）分母是3的分?jǐn)?shù)有4個(gè)，分子是1，2，3，1；
分母是4的分?jǐn)?shù)有5個(gè)；分子是1，2，3，4，1；
…
分母是n的分?jǐn)?shù)有n+1個(gè)（n＞1）．
共有1+3+4+5+…+（n+1）=（n+1）×（n+2）÷2-2，
因?yàn)椋?6+1）×（26+2）÷2-2=376，
（27+1）×（27+2）-2=404，
第404個(gè)分?jǐn)?shù)是$\frac{1}{27}$，向前推為第403個(gè)分?jǐn)?shù)是$\frac{27}{27}$，第402個(gè)分?jǐn)?shù)是$\frac{26}{27}$，第401個(gè)分?jǐn)?shù)是$\frac{25}{27}$，第400個(gè)分?jǐn)?shù)是$\frac{24}{27}$，所以這串?dāng)?shù)的第400個(gè)數(shù)是$\frac{24}{27}$．
答：第400個(gè)數(shù)是$\frac{24}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題需要找出分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)與分母之間的規(guī)律，還要找出分子的變化規(guī)律．