Question

一個(gè)自然數(shù)至少有4個(gè)約數(shù)，并且該數(shù)等于其最小的4個(gè)約數(shù)的平方之和，請找出這樣的自然數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理

專題：整除性問題

分析：顯然這個(gè)數(shù)至少有兩個(gè)質(zhì)因子．設(shè)所含質(zhì)因子中最小兩個(gè)為p，q（p＜q），（此數(shù)只含有一個(gè)質(zhì)因子P的話，最小四約數(shù)為1，p，p²，p³，其平方和=此數(shù)不被p整除．矛盾） 如果p不為2則該數(shù)為奇數(shù)，約數(shù)全奇，四個(gè)奇數(shù)的平方和為偶數(shù) 不等于該數(shù) 矛盾．p=2該數(shù)為偶數(shù)，該數(shù)最小四因子為1，2，a，b時(shí)，a、b不可同時(shí)為偶或者同時(shí)為奇，否則平方和為奇數(shù)也不等于該數(shù)．
分奇偶情況討論如下：最小四約數(shù)可能為1，2，q，2q或1，2，4，q；得出答案即可．

解答： 解：（1）最小四約數(shù)可能為1，2，q，2q令n=2kq，
此時(shí)2kq=1+4+5q²=5（q²+1）右邊含質(zhì)因子q 只能q=5，
代入檢驗(yàn)有k=13，該數(shù)為130；
（2）最小四約數(shù)可能為1，2，4，q，其中q為大于4的質(zhì)數(shù)，令n=4kq．
此時(shí)4kq=q²+21得到q|21，只能q=7，
代入檢驗(yàn)k無整解．
于是符合要求的只有130．

點(diǎn)評(píng)：解答此題關(guān)鍵是找出符合條件的最小四約數(shù)，再進(jìn)一步根據(jù)該數(shù)等于其最小的4個(gè)約數(shù)的平方之和探討得出答案即可．