Question

14．如圖，已知直線AB和CD相交于點O（△AQC為銳角）
（1）寫出∠AOC和∠BOD的大小關系：∠AOC=∠BOD判斷的依據是對頂角相等
（2）過點O作射線OE，OF，若∠COE=90°，OF平分∠AOE，畫出圖形并求∠AOF+∠COF的度數，說明你的理由．
（3）在（2）的條件下，若△BOD=20°，請計算∠COF的度數．

Answer 1

分析 分析：（1）根據對頂角相等的性質解答；
（2）根據角平分線的定義可得∠AOF=∠EOF，然后求出∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE，即可得解；
（3）根據鄰補角的定義求出∠AOC，再分①OE在∠BOC內部時，先求出∠AOE，然后根據角平分線的定義求出∠AOF，最后根據∠COF=∠AOF-∠AOC代入數據進行計算即可得解；②OE在∠AOD內部時，先求出∠AOE，然后根據角平分線的定義求出∠AOF，最后根據∠COF=∠AOF+∠AOC代入數據進行計算即可得解．

解答 解：（1）∠AOC=∠BOD，判斷的依據是對頂角相等；
 
（2）因為OF平分∠AOE，
所以∠AOF=∠EOF，
所以∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE，
因為∠COE=90°，
所以∠AOF+∠COF=90°；
 
（3）因為∠AOD=120°，
所以∠AOC=180°-∠AOD=180°-120°=60°，
①OE在∠BOC內部時，如圖1，∠AOE=∠AOC+∠COE=60°+90°=150°，
因為OF平分∠AOE，
所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
②OE在∠AOD內部時，如圖2，∠AOE=∠COE-∠AOC=90°-60°=30°，
因為OF平分∠AOE，

所以∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
所以∠COF=∠AOF+∠AOC=15°+60°=75°
綜上所述，∠COF的度數是15°或75°．
故答案為∠AOC=∠BOD，對頂角．

點評 點評：本題考查了對頂角相等，鄰補角互補的定義，角平分線的定義，角的計算，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵，難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．