Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x2+bx+3與y軸相交于點E，拋物線對稱軸x=2交拋物線于點M，交x軸于點F，點A在x軸上，A（

1

2

，0），B（2，m）是射線FN上一動點，連結AB，將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC，過點C作y軸的平行線交拋物線于點D．
（1）求b的值；
（2）求點C的坐標（用含m的代數式表示）；
（3）當以O、E、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點B的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題,解一元二次方程-公式法,全等三角形的判定與性質,平行四邊形的性質

專題：綜合題

分析：（1）只需運用拋物線的對稱軸方程就可求出b的值；
（2）過點C作CH⊥x軸于H，易證△AFB≌△CHA，則有AF=CH，BF=AH，然后由A、B兩點的坐標就可求出點C的坐標；
（3）由于DC∥OE，因此DC與OE是對邊，則DC=OE，根據x_D=x_C即可求出點D的縱坐標（用m表示），然后只需分點D在點C的上方和下方兩種討論，根據DC=OE=3建立關于m的方程，并解這個方程，就可解決問題．

解答：解：（1）由拋物線對稱軸x=2得：
x=-

b

2×(- 1 2 )

=b=2，
即b的值為2；

（2）過點C作CH⊥x軸于H，如圖所示．
∵線段AC是由線段AB繞點A逆時針旋轉90°所得，
∴AC=AB，∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠BAF=90°．
∵BF⊥AF，AH⊥CH，
∴∠AHC=∠BFA=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠CAF=∠ABF．
在△AFB和△CHA中，

∠ABF=∠CAH ∠AFB=∠CHA AB=AC

，
∴△AFB≌△CHA（AAS），
∴AF=CH，BF=AH，
∵B（2，m），∴F（2，0）．
∵B（2，m）是射線FN上一動點，∴m≤0，
∴AH=BF=-m．
∵A（

1

2

，0），∴OA=

1

2

，
∴CH=AF=OF-OA=2-

1

2

=

3

2

，OH=OA+AH=

1

2

-m，
∴點C的坐標為（

1

2

-m，

3

2

）；

（3）當以O、E、D、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，
∵拋物線y=-

1

2

x2+bx+3與y軸相交于點E，
∴E（0，3），OE=3．
∵CD∥y軸，即CD∥OE，
∴CD與OE是平行四邊形的對邊，
∴CD=OE=3．
∵CD∥y軸，
∴x_D=x_C=

1

2

-m，
∴y_D=-

1

2

（

1

2

-m）²+2（

1

2

-m）+3=-

1

2

m²-

3

2

m+

31

8

．
①當點D在點C上方時，
CD=y_D-y_C═-

1

2

m²-

3

2

m+

31

8

-

3

2

=3，
整理得：4m²+12m+5=0，
解得：m₁=-

1

2

，m₂=-

5

2

，
∴點B的坐標為（2，-

1

2

）或（2，-

5

2

）．
②當點D在點C下方時，
CD=y_C-y_D═

3

2

-（-

1

2

m²-

3

2

m+

31

8

）=3，
整理得：4m²+12m-43=0，
解得：m₃=

-3+2 13

2

，m₄=

-3-2 13

2

，
∵m＜0，∴m=

-3-2 13

2

，
∴點B的坐標為（2，

-3-2 13

2

）．
綜上所述：符合條件的點B的坐標為（2，-

1

2

）或（2，-

5

2

）或（2，

-3-2 13

2

）．

點評：本題主要考查了拋物線的性質、旋轉的性質、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、解一元二次方程等知識，有一定綜合性，構造全等三角形是解決第（2）小題的關鍵，分類討論并利用CD=3建立等量關系是解決第（3）小題的關鍵．