Question

【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在一個(gè)點(diǎn)M，使得MP＝MC，則稱點(diǎn)P為⊙C的“等徑點(diǎn)”，已知點(diǎn)D（，），E（0，2），F(xiàn)（﹣2，0）．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，

①在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，⊙O的“等徑點(diǎn)”是哪幾個(gè)點(diǎn)；

②作直線EF，若直線EF上的點(diǎn)T（m，n）是⊙O的“等徑點(diǎn)”，求m的取值范圍．

（2）過點(diǎn)E作EG⊥EF交x軸于點(diǎn)G，若△EFG各邊上所有的點(diǎn)都是某個(gè)圓的“等徑點(diǎn)”，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①⊙O的“等徑點(diǎn)”是D，E；②﹣2≤m≤﹣1；（2）這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r≥2．

【解析】

（1）①根據(jù)“等徑點(diǎn)”的定義可知，“等徑點(diǎn)”到圓心的距離小于等于圓的半徑的2倍，由此即可判定；

②如圖2中，設(shè)直線EF交半徑為2的⊙O于點(diǎn)K，連接OK，作KM⊥OF于M．當(dāng)點(diǎn)T在線段FK上時(shí)，點(diǎn)T是“等徑點(diǎn)”，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)即可解決問題；

（2）因?yàn)椤?/span>EFG各邊上所有的點(diǎn)都是某個(gè)圓的“等徑點(diǎn)”，所以這個(gè)圓的圓心Q是線段FG的中點(diǎn)，易知Q（2，0），設(shè)這個(gè)圓的半徑為r．根據(jù)QG≤2r，構(gòu)建不等式即可解決問題.

（1）根據(jù)“等徑點(diǎn)”的定義可知，“等徑點(diǎn)”到圓心的距離小于等于圓的半徑的2倍．即半徑為1的⊙O的“等徑點(diǎn)”在以O(shè)為圓心2為半徑的圓內(nèi)或圓上．

如圖1中，觀察圖象可知：在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，⊙O的“等徑點(diǎn)”是D，E．

②如圖2中，設(shè)直線EF交半徑為2的⊙O于點(diǎn)K，連接OK，作KM⊥OF于M．

∵OF＝2，OE＝2，

∴tan∠EFO＝=，

∴∠OFK＝60°，

∵OF＝OK，

∴△OFK是等邊三角形，

∴OF＝OK＝FK＝2，

∵KM⊥OF，

∴FM＝OM＝1，KM＝＝，

∴K（﹣1， ），

∵當(dāng)點(diǎn)T在線段FK上時(shí)，點(diǎn)T是“等徑點(diǎn)”，

∴﹣2≤m≤﹣1．

（2）如圖3中，

∵△EFG是直角三角形，∠FEG＝90°，∠EFG＝60°，

∴EF＝2OF＝4，F(xiàn)G＝2EF＝8，

∴OG＝6，

由題意△EFG各邊上所有的點(diǎn)都是某個(gè)圓的“等徑點(diǎn)”，這個(gè)圓的圓心Q是線段FG的中點(diǎn)，Q（2，0），設(shè)這個(gè)圓的半徑為r．

由題意：QG≤2r

∴4≤2r，

∴r≥2，

即這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r≥2．