Question

如圖，AB=16cm，AC=12cm，動點P、Q分別以每秒2cm和1cm的速度同時開始運動，其中點P從點A出發(fā)沿AC邊一直移到點C為止，點Q從點B出發(fā)沿BA邊一直移動到點A為止．
（1）寫出AP的長y₁和AQ的長y₂關(guān)于時間t的函數(shù)；
（2）經(jīng)過多少時間后，△APQ與△ABC相似？
（3）在整個過程中，是否存在使△APQ的面積恰好為△ABC面積一半的情況？若存在，請問此時點Q運動了多少時間？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可結(jié)合三角形的周長，根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出AP的長y₁和AQ的長y₂關(guān)于時間t的函數(shù)；
（2）分0≤t≤6，6≤t≤16兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出所用的時間；
（3）當(dāng)0≤t≤6時，過點P、C分別作AB的垂線，垂足為D、E，根據(jù)△APQ的面積恰好為△ABC面積一半，

S△APQ

S△ABC

=

AQ•PD

AB•CE

，求出所用的時間；當(dāng)6≤t≤16時，點P與C重合，即

S△AQC

S△ABC

=

AQ

AB

，根據(jù)△AQC的面積恰好為△ABC面積一半，求出所用的時間．

解答：解：（1）由題意得：y₁=2t（0≤t≤6），y₂=16-t（0≤t≤16）．（4分）

（2）當(dāng)0≤t≤6時，
①若QP∥BC，則有△AQP∽△ABC．
∴

AQ

AB

=

AP

AC

．
∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2t，AQ=16-t，
∴

16-t

16

=

2t

12

，
解得：t=

48

11

（2分）
②∵∠A=∠A，若∠AQP=∠C，
則有△AQP∽△ACB
∴

AQ

AC

=

AP

AB

∴

16-t

12

=

2t

16

，
解得：t=6.4、（不符合題意，舍去）（1分）
當(dāng)6≤t≤16時，點P與C重合
∵∠A=∠A，只有當(dāng)∠AQC=∠ACB時，有△AQC∽△ACB，
∴

AQ

AC

=

AC

AB

∴

16-t

12

=

12

16

，
解得：t=7 （1分）
綜上所述：
在0≤t≤6中，當(dāng)t=

48

11

時，△AQP∽△ABC
在6≤t≤16中，當(dāng)t=7時，△AQC∽△ACB （1分）

（3）當(dāng)0≤t≤6時，過點P、C分別作AB的垂線，垂足為D、E，
∴PD=APsin∠A，CE=ACsin∠A．
如果△APQ的面積恰好為△ABC面積一半，
那么

S△APQ

S△ABC

=

AQ•PD

AB•CE

，
∴

AQ•PD

AB•CE

=

1

2

，
得：t²-16t+48=0，
解得：t=4或者t=12（舍去）（2分）．
當(dāng)6≤t≤16時，點P與C重合，
即

S△AQC

S△ABC

=

AQ

AB

，
如果△AQC的面積恰好為△ABC面積一半，
那么

16-t

16

=

1

2

，
解得：t=8 （1分）．
綜上所述：
在0≤t≤6中，當(dāng)t=4時，△APQ的面積恰好為△ABC面積一半；
在6≤t≤16中，當(dāng)t=8時，△AQC的面積恰好為△ABC面積一半．

點評：本題主要考查了路程問題，三角形的面積比的計算，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（2）（3）中，要根據(jù)P點、Q點的不同位置進行分類求解．