Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E．
（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由CD是⊙O切線，得到∠ODC=90°，根據(jù)AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，等量代換得到∠BDC=∠ADO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO=∠A，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)垂直的定義得到∠E=∠ADB=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCE=∠BDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CE}{DE}=\frac{AE}{CE}$，解方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，
∵CD是⊙O切線，
∴∠ODC=90°，
即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即∠ODB+∠ADO=90°，
∴∠BDC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A，
∴∠BDC=∠A；

（2）∵CE⊥AE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，
∴∠DCE=∠BDC，
∵∠BDC=∠A，
∴∠A=∠DCE，
∵∠E=∠E，
∴△AEC∽△CED，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{AE}{CE}$，
∴EC²=DE•AE，
∴16=2（2+AD），
∴AD=6．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．