Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上，OA=3，OB=4，連接AB．點(diǎn)P在平面內(nèi)，若以點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB全等（點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）或（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）或（-$\frac{21}{25}$，$\frac{28}{25}$）．

Answer 1

分析 由條件可知AB為兩三角形的公共邊，且△AOB為直角三角形，當(dāng)△AOB和△APB全等時(shí)，則可知△APB為直角三角形，再分三種情況進(jìn)行討論，可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：如圖所示：
①∵OA=3，OB=4，
∴P₁（3，4）；
②連結(jié)OP₂，
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
故AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
則OP₂的解析式為y=$\frac{3}{4}$x，
聯(lián)立方程組得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{48}{25}}\\{y=\frac{36}{25}}\end{array}\right.$，
則P₂（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）；
③連結(jié)P₂P₃，
∵（3+0）÷2=1.5，
（0+4）÷2=2，
∴E（1.5，2），
∵1.5×2-$\frac{96}{25}$=-$\frac{21}{25}$，
2×2-$\frac{72}{25}$=$\frac{28}{25}$，
∴P₃（-$\frac{21}{25}$，$\frac{28}{25}$）．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）或（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）或（-$\frac{21}{25}$，$\frac{28}{25}$）．
故答案為：（3，4）或（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）或（-$\frac{21}{25}$，$\frac{28}{25}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，做這種題要求對(duì)全等三角形的判定方法熟練掌握．