Question

20．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC，CB于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)．求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)．記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P．
①猜想驗(yàn)證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)△AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試判斷$\frac{1}{DM}+\frac{1}{DN}$是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先分別連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，即可證得0E=OF=OA，則可得點(diǎn)O即為△AEF的外心；
（2）①首先分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度數(shù)，又由點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上．
②當(dāng)AE⊥DC時(shí)．△AEF面積最小，此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)．連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可$\frac{1}{DM}+\frac{1}{DN}$為定值2．

解答 （1）證明：如圖①，分別連接OE、0F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD，OF=$\frac{1}{2}$BC，AO=$\frac{1}{2}$AD，
∴0E=OF=OA，
∴點(diǎn)O即為△AEF的外心；

（2）解：①猜想：外心P一定落在直線DB上．
證明：如圖②，分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上；
②$\frac{1}{DM}+\frac{1}{DN}$為定值2，
當(dāng)AE⊥DC時(shí)．△AEF面積最小，
此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)．
連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）
可得點(diǎn)P在BD上，即為△AEF的外心，
如圖③．設(shè)MN交BC于點(diǎn)G，
設(shè)DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），則CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴△GBP≌△MDP，
∴BG=DM=x，
∴CG=1-x，
∵BC∥DA，
∴△NCG∽△NDM，
∴$\frac{CN}{DN}=\frac{CG}{DM}$，
∴$\frac{y-1}{y}$=$\frac{1-x}{x}$，
∴x+y=2xy，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=2，
即$\frac{1}{DM}+\frac{1}{DN}$=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外心的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．