Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+$\frac{4}{5}$x+c與直線y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$交于A、B兩點，已知點B的橫坐標(biāo)是4，直線y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$與x、y軸的交點分別為A、C，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在直線y═-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$上方，求△PAC的最大面積；
（3）設(shè)M是拋物線對稱軸上的一點，以點A、B、P、M為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=4代入直線y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$中求出y值，即可得出點B坐標(biāo)，在令直線y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$中y=0，求出x值，從而得出點A的坐標(biāo)，由點A、B兩點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）過點P作PQ∥y軸，交直線AB于點Q，設(shè)出P點坐標(biāo)，表示出Q的坐標(biāo)，利用分割圖形法求面積找出S_△PAC關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）假設(shè)能，由拋物線的解析式找出拋物線的對稱軸，分線段AB為對角線和邊兩種情況來考慮，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于P點橫坐標(biāo)的一元一次方程，解方程即可求出P點的橫坐標(biāo)，將其代入拋物線解析式中即可得出點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把x=4代入y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$=-$\frac{2}{5}$×4-$\frac{2}{5}$=-2，
∴點B的坐標(biāo)為（4，-2），
把y=0代入y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$=0，
解得：x=-1，
∴點A的坐標(biāo)為（-1，0），
把A，B代入y=ax²+$\frac{4}{5}$x+c，得：$\left\{\begin{array}{l}{0=a-\frac{4}{5}+c}\\{-2=16a+\frac{16}{5}+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{c=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式：y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{6}{5}$；
（2）過點P作PQ∥y軸，交直線AB于點Q，如圖1所示．

設(shè)P（m，-$\frac{2}{5}$m²+$\frac{4}{5}$m+$\frac{6}{5}$）（1＜m＜4），Q（m，-$\frac{2}{5}$m-$\frac{2}{5}$），
則PQ=-$\frac{2}{5}$m²+$\frac{4}{5}$m+$\frac{6}{5}$-（-$\frac{2}{5}$m-$\frac{2}{5}$）=-$\frac{2}{5}$m²+$\frac{6}{5}$m+$\frac{8}{5}$，
∵S_△PAC=S_△PAQ-S_△PCQ=$\frac{1}{2}$OA•PQ=$\frac{1}{2}$×1×[-$\frac{2}{5}$m²+$\frac{4}{5}$m+$\frac{6}{5}$-（-$\frac{2}{5}$m-$\frac{2}{5}$）]=-$\frac{1}{5}{m}^{2}$+$\frac{3}{5}$m+$\frac{4}{5}$=-$\frac{1}{5}$$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{5}{4}$（1＜m＜4），
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，S_△PAC取最大值，最大值為$\frac{5}{4}$．
（3）假設(shè)能．由（1）知拋物線的對稱軸為x=-$\frac{\frac{4}{5}}{2×（-\frac{2}{5}）}$=1，
∴點M的橫坐標(biāo)為1，以點A、B、P、M為頂點的平行四邊形有兩種情況：
①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，有x_A-x_B=x_P-x_M，則-1-4=x_P-1，
解得：x_P=-4，即點P的橫坐標(biāo)為-4，
將x=-4代入y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{6}{5}$，得：y=-$\frac{42}{5}$，
∴點P（-4，-$\frac{42}{5}$）；
②當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，有x_P-x_A=x_B-x_M，則x_P-（-1）=4-1，
解得：x_P=2，即點P的橫坐標(biāo)為2，
將x=2代入y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{6}{5}$，得：y=$\frac{6}{5}$，
∴點P（2，$\frac{6}{5}$）．
綜上所述：以點A、B、P、M為頂點的四邊形能成為平行四邊形，點P的坐標(biāo)為（-4，-$\frac{42}{5}$）或（2，$\frac{6}{5}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點A、B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（3）分類討論，找出關(guān)于點P橫坐標(biāo)的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用分割圖形法求圖形面積是難點，在日常練習(xí)中應(yīng)加強該知識點的練習(xí)．