Question

7．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=90°，BE⊥CE，BE是⊙O的切線(xiàn)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．
（1）求證：BD=BA；
（2）若BC=3，⊙O的半徑為$\frac{9}{2}$，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由切線(xiàn)得垂直，則OB∥DE，得內(nèi)錯(cuò)角相等，利用圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于內(nèi)對(duì)角得出∠BCE=∠DAB；再利用同圓半徑相等和等邊對(duì)等角及同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠ADB=∠DAB，利用等角對(duì)等邊得出結(jié)論；
（2）利用兩角對(duì)應(yīng)相等證△BCE∽△ACB得出CE的長(zhǎng)，由勾股定理分別在三個(gè)直角三角形求出AB、BE、DE，則CD=ED-CE．

解答 證明：（1）連接OB，
∵BE是⊙O的切線(xiàn)，
∴OB⊥BE，
∵BE⊥CE，
∴OB∥ED，
∴∠BCE=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCE=∠OCB，
∵圓內(nèi)接四邊形ABCD，
∴∠BCE=∠DAB，
∵∠BCO=∠ADB，
∴∠ADB=∠DAB，
∴BD=BA；
（2）∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直徑，AC=2A0=9，
在Rt△ABC中，∵BC=3，
∴AB=$\sqrt{{9}^{2}-{3}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴BD=AB=6$\sqrt{2}$，
∵∠E=∠ABC=90°，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴$\frac{3}{9}$=$\frac{CE}{3}$，
∴CE=1，
在Rt△BCE中，AE=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BDE中，ED=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{64}$=8，
∴CD=ED-EC=8-1=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的外接圓，在圓中證明兩條弦相等，通常都證這兩條弦所對(duì)的圓周角相等；本題已知切線(xiàn)這一條件，因此都要連接切點(diǎn)和圓心，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得垂直關(guān)系，另外在圓中求邊長(zhǎng)的方法：①利用勾股定理；②相似三角形．