14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),A(0,-6),B(8,0)三點在⊙P上.
(1)求圓的半徑及圓心P的坐標(biāo);
(2)M為劣弧$\widehat{OB}$的中點,求證:AM是∠OAB的平分線;
(3)連接BM并延長交y軸于點N,求N,M點的坐標(biāo).

分析 (1)先利用勾股定理計算出AB=10,再利用圓周角定理的推理可判斷AB為⊙P的直徑,則得到⊙P的半徑是5,然后利用線段的中點坐標(biāo)公式得到P點坐標(biāo);
(2)根據(jù)圓周角定理由$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$,∠OAM=∠MAB,于是可判斷AM為∠OAB的平分線;
(3)連接PM交OB于點Q,如圖,先利用垂徑定理的推論得到PM⊥OB,BQ=OQ=$\frac{1}{2}$OB=4,再利用勾股定理計算出PQ=3,則MQ=2,于是可寫出M點坐標(biāo),接著證明MQ為△BON的中位線得到ON=2MQ=4,然后寫出N點的坐標(biāo).

解答 解:(1)∵O(0,0),A(0,-6),B(8,0),
∴OA=6,OB=8,
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10,
∵∠AOB=90°,
∴AB為⊙P的直徑,
∴⊙P的半徑是5
∵點P為AB的中點,
∴P(4,-3);
(2)∵M點是劣弧OB的中點,
∴$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$,
∴∠OAM=∠MAB,
∴AM為∠OAB的平分線;
(3)連接PM交OB于點Q,如圖,
∵$\widehat{OM}$=$\widehat{BM}$,
∴PM⊥OB,BQ=OQ=$\frac{1}{2}$OB=4,
在Rt△PBQ中,PQ=$\sqrt{P{B}^{2}-B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3,
∴MQ=2,
∴M點的坐標(biāo)為(4,2);
∵MQ∥ON,
而OQ=BQ,
∴MQ為△BON的中位線,
∴ON=2MQ=4,
∴N點的坐標(biāo)為(0,4).

點評 本題考查了圓的綜合題:熟練掌握垂徑定理和圓周角定理;理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),記住線段的中點坐標(biāo)公式,會利用勾股定理計算線段的長.此類題目通常解由半徑、弦心距和弦的一半所組成的直角三角形.

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(3)拓展探究
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