Question

11．如圖，在△ABC中，AB=6，BC=3，CA=7，I為△ABC的內(nèi)心，連接CI并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D．記△CAI的面積為m，△DAI的面積為n，則$\frac{m}{n}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 由I為△ABC的內(nèi)心知，AI是△ACD的角平分線，BI是△BCD的角平分線，根據(jù)角平分線定理得出$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{BC}{BD}$，利用三角形的面積公式可知同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比，得到$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$，再由等比定理得出$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC+BC}{AD+BD}$=$\frac{7+3}{6}$=$\frac{5}{3}$．

解答 解：∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴AI是△ACD的角平分線，BI是△BCD的角平分線，
∴$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{BC}{BD}$，
∵$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC+BC}{AD+BD}$=$\frac{7+3}{6}$=$\frac{5}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了角平分線定理，三角形的面積，等比定理．