Question

15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x-2與x軸、y軸分別相交于點A和點B，點C在y軸的正半軸上，且OC=2OB．
（1）求線段BC的長度；
（2）如果點D在直線AB上，且以B、C、D、E為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）可先求得B點坐標，再結(jié)合OC=2OB，可求得BC的長度；
（2）分BC為邊和對角線，①當BC為邊時有兩種情況，BD為邊或BD為對角線，當BD為邊時，則BD=BC，可先求得D點坐標，再根據(jù)DE∥BC且DE=BC可求得E點坐標；當BD為對稱線時，則四邊形為正方形，可求得E點坐標；②當BC為對角線時，則DE為BC的垂直平分線，可先求得D點坐標，利用對稱性可求得E點坐標

解答 解：
（1）∵直線y=x-2與x軸、y軸分別相交于點A和點B，
∴點A（2，0），點B（0，-2），
∴OB=2，
∵OC=2OB，
∴OC=4，點C（0，4），
∴BC的長度是6；
（2）①當BC為邊時，有兩種情況，BD為邊或BD為對稱線，
當BD為邊時，則有BD=BC=6，
設(shè)D點坐標為（x，x-2），則$\sqrt{{x}^{2}+（x-2+2）^{2}}$=6，解得x=3$\sqrt{2}$或x=-3$\sqrt{2}$，
∴D點坐標為（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$-2）或（-3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$-2），
∵DE=BC=6，且DE∥BC，
∴E點坐標為（$3\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$+4）或（$-3\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$+4）；
當BD為對角線時，則∠CBD=∠EBD=45°，如圖1，

則∠EBC=90°，
∴四邊形BCDE為正方形，
∴BE=BC=6，且BE∥x軸，
∴E點坐標為（6，-2）；
②當BC為對角線時，則有DE⊥BC，如圖2，

設(shè)BC與DE交于點F，則F為BC的中點，
∴F（0，1），
∴D點縱坐標為1，代入直線AB解析式可得1=x-2，解得x=3，
∴D點坐標為（3，1），
又D、E關(guān)于BC對稱，
∴E點坐標為（-3，1）；
綜上可知點E的坐標可以為（$3\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$+4）或（$-3\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$+4）或（6，-2）或（-3，1）．

點評 本題主要考查菱形的性質(zhì)及一次函數(shù)與坐標軸的交點，在（2）中確定出D點的位置是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．