Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C是由△ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接AB′，且A，B′，A′在同一條直線上，則AA′的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 6
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題意先求出∠BAC=30°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2BC=4，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，得出△CAA′為等腰三角形，從而得出∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=2，然后根據(jù)AA′=AB′+A′B′進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵BC=2
∴AB=4，
∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，
∴A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′為等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵A、B′、A′在同一條直線上，
∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=60°-30°=30°，
∴B′A=B′C=2，
∴AA′=AB′+A′B′=4+2=6．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是本題的關(guān)鍵．也同時(shí)考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．