Question

10．如圖所示，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，點E為CD邊上的中點，連接AE，將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E，D′E交AC于F點．若AB=3$\sqrt{2}$cm．求：
（1）試說明BD′平分∠ABC；
（2）試在線段AC上確定一點P，使得DP+EP的值最小，并求出這個最小值；
（3）直接寫出點D′到BC的距離$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$cm．

Answer 1

分析 （1）過D′作D′G⊥BC于G，D′H⊥AB于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=CE=DE，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到∠DAE=∠EAD′=60°，AD=AD′，推出AC垂直平分ED′，于是得到CE=CD′=AD′，得到∠D′AH=∠D′CG，證得△AHD′≌△CGD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）首先得出△ADE為等邊三角形，進而求出點E，D′關(guān)于直線AC對稱，連接DD′交AC于點P，此時DP+EP值為最小，進而得出答案；
（3）連接CD′，BD′，過點D′作D′G⊥BC于點G，進而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），則∠D′BG=45°，D′G=GB，進而利用勾股定理求出點D′到BC邊的距離．

解答 解：（1）過D′作D′G⊥BC于G，D′H⊥AB于H，∵∠DAC=90°，點E為CD邊上的中點，∴AE=CE=DE，∴∠DAE=∠ADE=60°∠ECA=∠EAC=30°，∵將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E，D′E交AC于F點，∴∠DAE=∠EAD′=60°，AD=AD′，∴∠FAD′=30°，∴AC垂直平分ED′，∴CE=CD′=AD′，∴∠ACD′=30°∴∠D′AH=∠D′CG，在△AHD′與△CGD′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D′AH=∠D′CG}\\{∠AHD′=∠CGD′}\\{AD′=CD′}\end{array}\right.$，∴△AHD′≌△CGD′，∴D′H=D′G，∴BD′平分∠ABC；
（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，
∴∠ADC=60°，
∵E為CD邊上的中點，
∴DE=AE，
∴△ADE為等邊三角形，
∵將△ADE沿AE所在直線翻折得△AD′E，
∴△AD′E為等邊三角形，
∠AED′=60°，
∵∠EAC=∠DAC-∠EAD=30°，
∴∠EFA=90°，
即AC所在的直線垂直平分線段ED′，
∴點E，D′關(guān)于直線AC對稱，
連接DD′交AC于點P，
∴此時DP+EP值為最小，且DP+EP=DD′，
∵△ADE是等邊三角形，AD=AE=2$\sqrt{3}$，
∴DD′=2×$\frac{1}{2}$AD×$\sqrt{3}$=2×3=6，
即DP+EP最小值為6cm；

（3）連接CD′，BD′，過點D′作D′G⊥BC于點G，
∵AC垂直平分線ED′，
∴AE=AD′，CE=CD′，
∵AE=EC，∴AD′=CD′=2$\sqrt{3}$，
在△ABD′和△CBD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BD′=BD′}\\{AD′=CD′}\end{array}\right.$，
∴△ABD′≌△CBD′（SSS），
∴∠D′BG=45°，
∴D′G=GB，
設(shè)D′G長為xcm，則CG長為（3$\sqrt{2}$-x）cm，
在Rt△GD′C中
x²+（3$\sqrt{2}$-x）²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x₁=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
∴點D′到BC邊的距離為（$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$）cm．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$cm．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用垂直平分線的性質(zhì)得出點E，D′關(guān)于直線AC對稱是解題關(guān)鍵．