Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+5x-4的頂點(diǎn)為M，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）直接寫出拋物線y=-x²+5x-4先關(guān)于x軸對(duì)稱、再關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式；
（3）設(shè)（2）中所求拋物線的頂點(diǎn)為M′，與x軸交于A′、B′兩點(diǎn)（點(diǎn)A′在點(diǎn)B′的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C′．在以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′這八個(gè)點(diǎn)中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形中，求其中所有不是菱形的平行四邊形的面積．

Answer 1

分析 （1）由y=-x²+5x-4，令y=0，得出-x²+5x-4=0，解方程求出x的值，求出A、B的坐標(biāo)；再令x=0，求出y的值，得到C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出y=-x²+5x-4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式即可；
（3）首先根據(jù)平行四邊形的判定得出以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′這八個(gè)點(diǎn)中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，選擇出其中的菱形，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算其中所有不是菱形的平行四邊形的面積．

解答 解：（1）∵y=-x²+5x-4，
∴當(dāng)y=0時(shí)，-x²+5x-4=0，
解得x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∵x=0時(shí)，y=-4，
∴C（0，-4）；

（2）拋物線y=-x²+5x-4先關(guān)于x軸對(duì)稱、再關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式為：
-y=-（-x）²+5（-x）-4，即y=x²+5x+4；

（3）如圖，在以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′這八個(gè)點(diǎn)中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，
平行四邊形有：?ACA′C′，?AMA′M，?BCB′C′，?BMB′M′，?CMC′M′，
∵AA′⊥CC′，BB′⊥CC′，
∴?ACA′C′是菱形，?BCB′C′是菱形．
∵y=-x²+5x-4=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
S_?AMA'M′=2S_△A′AM=2×$\frac{1}{2}$×2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，
S_?BMB'M'=2S_△B′BM=2×$\frac{1}{2}$×8×$\frac{9}{4}$=18，
S_?CMC′M′=2S_△C′CM=2×$\frac{1}{2}$×8×$\frac{5}{2}$=20．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)，難度適中．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．