Question

8．如圖，拋物線y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，把△ABC沿x軸向右平移得到△A′B′C′，AB邊上的點(diǎn)O平移到點(diǎn)O′．
（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；
（2）在平移的過程中，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線A′C′的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F落在直線AC上時(shí)，求△ABC平移的距離；
（3）在平移過程中，連接CA′，CO′，求△A′CO′周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過解方程$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3=0可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用對(duì)稱性可確定拋物線的對(duì)稱軸；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)對(duì)稱BM=FM，由平移的定義可知A′M∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可證得AA′=BA′=$\frac{5}{2}$，從而求得平移的距離為$\frac{5}{2}$；
（3）過A點(diǎn)作AN⊥x軸，且AN=OC，易證得△NAA′≌△COO′，得出A′N=CO′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)△A′CO′周長的最小時(shí)，A′在直線NC上，即∠AA′N=∠CA′O，即可根據(jù)AAS證得△NAA′≌△COA′，得出AA′=OA′，NA′=NA′，然后根據(jù)勾股定理求得CA′=$\sqrt{13}$，即可求得三角形周長的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3=0，解得x₁=1，x₂=-4，則A（-4，0），B（1，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3=3，則C（0，3）；
拋物線的對(duì)稱軸是直線x=$\frac{-4+1}{2}$=-$\frac{3}{2}$；
（2）∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線A′C′的對(duì)稱，
∴BM=FM，
由平移的定義可知A′M∥AC，
∴$\frac{BA′}{AA′}$=$\frac{BM}{FM}$=1，
∴AA′=BA′=$\frac{1}{2}$AB，
∵A（-4，0），B（1，0），
∴AB=5，
∴AA′=BA′=$\frac{5}{2}$，
∴△ABC平移的距離為$\frac{5}{2}$；
（3）過A點(diǎn)作AN⊥x軸，且AN=OC，
∴∠NAA′=∠COO′=90°，
在△NAA′和△COO′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=CO}\\{∠NAA′=COO′}\\{AA′=OO′}\end{array}\right.$
∴△NAA′≌△COO′（ASA），
∴A′N=CO′，
當(dāng)△A′CO′周長的最小時(shí)，A′在直線NC上，
即∠AA′N=∠CA′O，
在△NAA′和△COA′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AA′N=∠CA′O}\\{∠NAA′=∠COA′}\\{AN=OC}\end{array}\right.$
∴△NAA′≌△COA′（AAS），
∴AA′=OA′，NA′=NA′，
∴CA′=CO′，
∵OA=4，
∴AA′=OA′=2，
∴OO′=2，
∴A′O′=4，
∵OC=3，
∴CA′=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴△A′CO′周長的最小值為4+2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理的運(yùn)用以及三角形全等的判定和性質(zhì)，（3）能夠判斷當(dāng)△A′CO′周長的最小時(shí)，A′在直線NC上是本題的難點(diǎn)．