Question

【題目】我們把滿足某種條件的所有點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個條件的點(diǎn)的軌跡，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿射線AC方向以1個單位秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿射線CB方向以2個單位/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，在整個運(yùn)動過程中，線段PQ的中點(diǎn)M運(yùn)動的軌跡長為__．

Answer 1

【答案】3．

【解析】

先以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知0≤t≤6，求得t＝0及t＝6時M的坐標(biāo)，得到直線M1M2的解析式為y＝﹣2x+8．過點(diǎn)M2作M2N⊥x軸于點(diǎn)N，則M2N＝6，M1N＝3，M1M2＝3，線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為3個單位長度．

以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系：

依題意，可知0≤t≤6，當(dāng)t＝0時，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（4，0）；

當(dāng)t＝6時，點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（1，6），

設(shè)直線M1M2的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直線M1M2的解析式為y＝﹣2x+8．

設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒，

則有點(diǎn)Q（0，2t），P（8﹣t，0），

∴在運(yùn)動過程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)為（，t），

把x＝代入y＝﹣2x+8，得y＝﹣2×+8＝t，

∴點(diǎn)M3在M1M2直線上，

過點(diǎn)M2作M2N⊥x軸于點(diǎn)N，則M2N＝6，M1N＝3，

∴M1M2＝3，

∴線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為3個單位長度．

故答案為：3．