Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，點P由C點出發(fā)以2m/s的速度向終點A勻速移動，同時點Q由點B出發(fā)以1m/s的速度向終點C勻速移動，當一個點到達終點時另一個點也隨之停止移動．
（1）經過幾秒△PCQ的面積為△ACB的面積的$\frac{1}{3}$？
（2）經過幾秒，△PCQ與△ACB相似？

Answer 1

分析 （1）分別表示出線段PC和線段CQ的長后利用S_△PCQ=$\frac{1}{3}$S_△ABC列出方程求解；
（2）設運動時間為ts，△PCQ與△ACB相似，當△PCQ與△ACB相似時，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，則有$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$或$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，分別代入可得到關于t的方程，可求得t的值；

解答 解：（1）設經過x秒△PCQ的面積為△ACB的面積的$\frac{1}{3}$，
由題意得：PC=2xm，CQ=（6-x）m，
則$\frac{1}{2}$×2x（6-x）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×8×6，
解得：x=2或x=4．
則經過2秒或4秒，△PCQ的面積為△ACB的面積的$\frac{1}{3}$；

（2）設運動時間為ts，△PCQ與△ACB相似．
當△PCQ與△ACB相似時，則有$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$或$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，
所以$\frac{2t}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，或$\frac{2t}{6}$=$\frac{6-t}{8}$，
解得t=$\frac{12}{5}$，或t=$\frac{18}{11}$．
因此，經過$\frac{12}{5}$秒或$\frac{18}{11}$秒，△OCQ與△ACB相似；

點評 本題考查了一元二次方程的應用，用到的知識點是相似三角形的判定與性質，三角形的面積，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．