Question

2．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＜0）圖象上一點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交函數(shù)y=$\frac{k^2}{x}$（x＞0，k＜0）的圖象于點(diǎn)B，BC⊥x軸，若S_△ABC=$\frac{15}{2}$，則k的值是-3．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，$\frac{4}{m}$），直線AB經(jīng)過點(diǎn)A，可得直線AB的表達(dá)式為y=$\frac{4}{{m}^{2}}$x．直線AB與函數(shù)y=$\frac{k^2}{x}$一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$mk，-$\frac{2k}{m}$），根據(jù)S_△ABC=$\frac{15}{2}$，可得方程$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2k}{m}$）×（-$\frac{1}{2}$mk+|m|）=$\frac{15}{2}$，求出k的值．

解答 解：設(shè)A（m，$\frac{4}{m}$）（m＜0），直線AB的解析式為y=ax（k≠0），
∵A（m，$\frac{4}{m}$），
∴ma=$\frac{4}{m}$，解得a=$\frac{4}{{m}^{2}}$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{4}{{m}^{2}}$x．
∵AO的延長(zhǎng)線交函數(shù)y=$\frac{k^2}{x}$的圖象于點(diǎn)B，
∴B（$\frac{1}{2}$mk，$\frac{2k}{m}$），
∵△ABC的面積等于$\frac{15}{2}$，CB⊥x軸，
∴$\frac{1}{2}$×（$\frac{2k}{m}$）×（$\frac{1}{2}$mk+|m|）=$\frac{15}{2}$，
∴解得k₁=5（舍去），k₂=-3，
即k的值是-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)題意得出直線AB的解析式，再用m和k表示出B點(diǎn)坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，△ABC的面積也可以看成△BOC與△AOC的面積之和．