Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0
（1）若直線l與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若m=0，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的極坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣2x﹣4=0，即（x﹣1）2+y2=5

直線l的參數(shù)方程為 ，代入并整理可得t2+（ m﹣1）t+m2﹣4=0

∵直線l與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn)，

∴△=（ m﹣1）2﹣4（m2﹣4）＜0，

∴m＜﹣ ﹣2 或m＞﹣ +2 ；

（2）解：若m=0，直線l的極坐標(biāo)方程為θ= ，代入C的極坐標(biāo)方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0．

直線l被曲線C截得的弦的端點(diǎn)的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=﹣4，

∴直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)=|ρ1﹣ρ2|= = ．

【解析】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線l的參數(shù)方程為 ，代入并整理可得t2+（ m﹣1）t+m2﹣4=0，利用直線l與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn)，即可求m的取值范圍；（2）若m=0，若m=0，直線l的極坐標(biāo)方程為θ= ，代入C的極坐標(biāo)方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0，利用極徑的意義求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．