【題目】如圖,ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AE=CF.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)連接DE,BF,若BD⊥EF,試探究四邊形EBFD的形狀,并對結論給予證明.
【答案】(1)詳見解析;(2)四邊形EBFD為菱形.
【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BO=DO,AO=CO,再利用等式的性質(zhì)可得EO=FO,然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可;
(2)根據(jù)BO=DO,FO=EO可得四邊形BEDF是平行四邊形,再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得四邊形EBDF為菱形.
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴BO=DO,AO=CO.
∵AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF,
即EO=FO.
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(SAS).
(2)四邊形EBFD為菱形,
證明:∵BO=DO,F(xiàn)O=EO,
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
∵BD⊥EF,
∴四邊形EBFD為菱形.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=1,將△ABC繞點C順時針旋轉得△A1B1C1 , 且點A1落在邊AB邊上,取BB1的中點D,連接CD,則CD的長為( )
A.
B.
C.2
D.3
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【題目】有一長、寬、高分別是 5cm,4cm,3cm 的長方體木塊,一只螞蟻要從長方體的一個頂點 A處沿長方體的表面爬到長方體上和 A 相對的頂點 B 處,則需要爬行的最短路徑長為( )
A. 5 cmB. cmC. 4cmD. 3cm
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【題目】某中學為打造書香校園,計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書,調(diào)查發(fā)現(xiàn),若購買一個乙種書柜比購買一個甲種書柜貴60元,若購買甲種書柜1個、乙種書柜2個,共需資金660元.
(1)甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元?
(2)若該校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共20個,其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量,學校至多能夠提供資金4320元,請問學校有哪幾種購買方案.
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【題目】求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學問題,中國古代數(shù)學專著《九章算術》中便記載了求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的一種方法﹣﹣更相減損術,術曰:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之數(shù),以少成多,更相減損,求其等也.以等數(shù)約之”,意思是說,要求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù),先用較大的數(shù)減去較小的數(shù),得到差,然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù),以此類推,當減數(shù)與差相等時,此時的差(或減數(shù))即為這兩個正整數(shù)的最大公約數(shù).
例如:求91與56的最大公約數(shù)
解:
請用以上方法解決下列問題:
(1)求108與45的最大公約數(shù);
(2)求三個數(shù)78、104、143的最大公約數(shù).
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【題目】(8分)某調(diào)查小組采用簡單隨機抽樣方法,對某市部分中小學生一天中陽光體育運動時間進行了抽樣調(diào)查,并把所得數(shù)據(jù)整理后繪制成如下的統(tǒng)計圖:
(1)該調(diào)查小組抽取的樣本容量是多少?
(2)求樣本學生中陽光體育運動時間為1.5小時的人數(shù),并補全占頻數(shù)分布直方圖;
(3)請估計該市中小學生一天中陽光體育運動的平均時間.
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【題目】如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2AD,點E、F分別是AB、BC邊的中點,連接AF、CE交于點M,連接BM并延長交CD于點N,連接DE交AF于點P,則結論:①∠ABN=∠CBN;②DE∥BN;③△CDE是等腰三角形;④EM:BE= :3;⑤S△EPM= S梯形ABCD , 正確的個數(shù)有( )
A.5個
B.4個
C.3個
D.2個
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【題目】A,B,C三名大學生競選系學生會主席,他們的筆試成績和口試成績(單位:分)分別用了兩種方式進行了統(tǒng)計,如表和圖一:
A | B | C | |
筆試 | 85 | 95 | 90 |
口試 | 80 | 85 |
(1)請將表一和圖一中的空缺部分補充完整.
(2)競選的最后一個程序是由本系的300名學生進行投票,三位候選人的得票情況如圖二(沒有棄權票,每名學生只能推薦一個),請計算每人的得票數(shù).
(3)若每票計1分,系里將筆試、口試、得票三項測試得分按4:3:3的比例確定個人成績,請計算三位候選人的最后成績,并根據(jù)成績判斷誰能當選.
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【題目】如圖,AB是△ABC外接圓⊙O的直徑,D是AB延長線上一點,且BD= AB,∠A=30°,CE⊥AB于E,過C的直徑交⊙O于點F,連接CD、BF、EF.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)求:tan∠BFE的值.
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