Question

【題目】如圖，拋物線y＝mx2+nx﹣3（m≠0）與x軸交于A(﹣3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x與該拋物線交于E，F兩點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)及拋物線的解析式．

（2）P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PH⊥EF于點(diǎn)H，求PH的最大值．

（3）以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，⊙C上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(，﹣3﹣)、(﹣，﹣3+)、(1，﹣3)

【解析】

（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，解出a的值即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，x2+2x﹣3）、點(diǎn)M（x，﹣x），則PH＝PM＝，將表達(dá)式配成頂點(diǎn)式即可得出答案；

（3）分∠BCD＝90°、∠CDB＝90°兩種情況，作出圖形分別求解即可．

解：（1）∵拋物線與x軸交于A(﹣3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，

∴拋物線的表達(dá)式為：，

即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線EF于點(diǎn)M，

設(shè)點(diǎn)P(x，x2+2x﹣3)、點(diǎn)M(x，﹣x)，

則PH＝PM＝，

當(dāng)x＝﹣時(shí)，PH的最大值為；

（3）①當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，如圖2左側(cè)圖，

當(dāng)點(diǎn)D在BC右側(cè)時(shí)，

過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，則CD＝1，OB＝1，OC＝3，

tan∠BCO＝＝tan∠CDM＝tanα，則sinα＝，cosα＝；

xD＝CDcosα＝，同理yD＝﹣3﹣，

故點(diǎn)D(，﹣3﹣)；

同理當(dāng)點(diǎn)D（D′）在BC的左側(cè)時(shí)，

同理可得：點(diǎn)D′(﹣，﹣3+)；

②當(dāng)∠CDB＝90°時(shí)，

如右側(cè)圖，CD＝OB＝1，則點(diǎn)D(1，﹣3)；

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(，﹣3﹣)、(﹣，﹣3+)、(1，﹣3)．