Question

13．如圖，正方形ABCD的邊與正方形CGFE的邊CE重合，O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于點H，連接OH、FH，EG與FH交于點M，對于下面四個結論：①GH⊥BE②HO$\frac{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BG；③GH²=GM•GE；④△GBE∽△GMF，其中正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①由四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，從而得GH⊥BE；
②由GH是∠EGC的平分線，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中點，利用中位線定理，得出②正確；
③當∠FME=90°時，根據射影定理可得GH²=GM•GE，但∠FOE=90°，得出③錯誤
④連接CF，證明點H在正方形CGFE的外接圓上，得到∠HFC=∠CGH，由∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，得出∠FMG=∠GBE，得出△GBE∽△GMF，④正確．

解答 解：①∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCE=∠DCG}&{\;}\\{CE=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴GH⊥BE．
故①正確；
②∵GH是∠EGC的平分線，
∴∠BGH=∠EGH，
在△BGH和△EGH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGH=∠EGH}&{\;}\\{GH=GH}&{\;}\\{∠GHB=∠GHE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BH=EH，
又∵O是EG的中點，
∴HO是△EBG的中位線
∴HO∥BG，HO=$\frac{1}{2}$BG，
故②正確；
③當∠FME=90°時，根據射影定理可得GH²=GM•GE，
但由題意得：∠FOE=90°，
因此③錯誤；
④連接CF，如圖所示：由（1）得△EHG是直角三角形，
∵O為EG的中點，
∴OH=OG=OE，
∴點H在正方形CGFE的外接圓上，
∴∠HFC=∠CGH，
∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，
∴∠FMG=∠GBE，
又∵∠EGB=∠FGM=45°，
∴△GBE∽△GMF．
故④正確，
故選：C．

點評 本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定、射影定理、圓周角定理等知識；熟練掌握正方形的性質，本題有一定難度，證明三角形全等和相似是解決問題的關鍵．