Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線ybx+c，經(jīng)過點A（1，3）、B（0，1），過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點C

（1）求拋物線的表達式及其頂點坐標；

（2）如圖1，點G是BC上方拋物線上的一個動點，分別過點G作GH⊥BC于點H、作GE⊥x軸于點E，交BC于點F，在點G運動的過程中，△GFH的周長是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，過A點的直線垂直x軸于點M，點N為直線AM上任意一點，當△BCN為直角三角形時，請直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）見解析;（3）（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（1，9）.

【解析】

（1）中由待定系數(shù)法即可求解；

（2）先由題意求出點C（4，3），得出直線BC的方程為y=x+1，求出BC=2，又根據(jù)△BCI∽△FGH得出∠BCI=∠FGH，從而tan∠BCI=tan∠FGH=，G(x，x2+x+1)，則F(x，x+1)得出GF= (x2)2+2，所以可得當x=2時，GF最長，此時△GFH周長最大．由相似比及正切函數(shù)的性質(zhì)即可求得△GFH的周長為：GF+FH+GH=2++2；

（3）設(shè)N（1，n）由已知B（0，1），C（4，3）可求出BN2=12+（n-1）2=n2-2n+2，CN2=32+（n-3）2=n2-6n+18，BC2=42+22=20，分三種性況討論：當∠BNC=90°時，BN2+CN2=BC2，得n1=0，n2=4；當∠CBN=90°時，BN2+BC2=CN2，得n3=-1當∠BCN=90°時，BC2+CN2=BN2，得n4=9最后得N點的坐標為：（1，0）或（1，4）或（1，-1）或（1，9）．

（1）∵拋物線ybx+c，經(jīng)過點A（1，3）、B（0，1），

∴ 解得：，c=1

∴拋物線的表達式為：

∵，

∴頂點坐標為：；

（2）∵A（1，3），∴把y=3代入，可得x1=1，x，2=4

∴C（4，3）

由B（0，1）、C（4，3）

得直線BC的表達式為，BC

延長CA與y軸交于點I，則I（0，3）

∵點G是BC上方拋物線上的一個動點，分別過點G作GH⊥BC于點H、作GE⊥x軸于點E，交BC于點F，

∴△BCI∽△FGH

∴∠BCI=∠FGH

∵tan∠BCI，

∴tan∠FGH

設(shè)，則

∴GF

∴當x=2時，GF最長，此時△GFH周長最大．

∴GF=2

∵

∴

∴GH

△GFH的周長為：GF+FH+GH=22；

（3）如圖2，由題意，設(shè)N（1，n）

∵B（0，1）、C（4，3）

∴BN2=12+（n﹣1）2=n2﹣2n+2，

CN2=32+（n﹣3）2=n2﹣6n+18，

BC2=42+22=20

當∠BNC=90°時，BN2+CN2=BC2，即（n2﹣2n+2）+（n2﹣6n+18）=20

得n1=0，n2=4；

當∠CBN=90°時，BN2+BC2=CN2，即（n2﹣2n+2）+20=n2﹣6n+18

得n3=﹣1

當∠BCN=90°時，BC2+CN2=BN2，即20+n2﹣6n+18=n2﹣2n+2

得n4=9

綜上所述：N點的坐標為：（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（1，9）