Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點E是AB上一點，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點，拋物線y=ax²+bx+c過點D，B，C三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：ED是⊙P的切線；
（3）若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求得B的坐標，解直角三角形求得D的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質和直角三角形的性質求得AB=4，根據(jù)AE=3EB求得AE=3，易證得△AED∽△COD，得出∠ADE=∠CDO，由∠ADE+∠ODE=90°得出∠CDO+∠ODE=90，即可證得結論；
（3）把拋物線解析式化成頂點式，求得頂點M的坐標，然后結合B、D的坐標即可求得．

解答 （1）解：∵C（2，0），BC=6，
∴B（-4，0），
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$，
∴OD=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$），
設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），
把D（0，2$\sqrt{3}$）代入得a•4•（-2）=2$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+4）（x-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
（2）證明：在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵sin∠BCD=$\frac{OC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{OC}{CD}$，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAE=∠DCB=60°，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD為⊙P的直徑，
∴ED是⊙P的切線；

（3）解：存在．
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
∴M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），
而B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），如圖2，
當BM為平行四邊形BDMN的對角線時，點D向左平移4個單位，再向下平移2$\sqrt{3}$個單位得到點B，
則點M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）向左平移4個單位，再向下平移2$\sqrt{3}$個單位得到點N₁（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
當DM為平行四邊形BDMN的對角線時，點B向右平移3個單位，
再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$個單位得到點M，則點D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3個單位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$個單位得到點N₂（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）；
當BD為平行四邊形BDMN的對角線時，點M向左平移3個單位，
再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$個單位得到點B，則點D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3個單位，再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$個單位得到點N₃（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．
綜上所述，點N的坐標為（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）、（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）、（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質和相似三角形的判定與性質；掌握平行四邊形的性質點平移的規(guī)律；會證明圓的切線．