Question

【題目】閱讀理解：如圖，在四邊形的邊上任取一點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），分別連接、，可以把四邊形分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把叫做四邊形的邊上的“相似點(diǎn)”：如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把叫做四邊形的邊上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．解決問(wèn)題：

如圖，，試判斷點(diǎn)是否是四邊形的邊上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

如圖，在矩形中，、、、四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖②中畫(huà)出矩形的邊上的強(qiáng)相似點(diǎn)；

如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若點(diǎn)恰好是四邊形的邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】點(diǎn)是四邊形的邊上的相似點(diǎn)；; 見(jiàn)解析； ．

【解析】

（1）根據(jù)∠ADF=∠BEC和∠A=∠B，求出△ADE∽△BEC，得出點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；

（2）因?yàn)?/span>△ADE是直角三角形，所以△ECD是直角三角形，所以點(diǎn)E為以CD為直徑的圓與邊AB的交點(diǎn)；

（3）因?yàn)辄c(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)，得出三個(gè)三角形相似，根據(jù)相似三角線(xiàn)對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，判斷BE和AB的關(guān)系，通過(guò)相似三角形和全等三角形得出∠BCE= ∠BCD=30°，利用特殊角的三角函數(shù)得到BE和BC的關(guān)系，從而得到AB與BC的關(guān)系．

∵

∴，，

∴，

又∵，

∴，

∴點(diǎn)是四邊形的邊上的相似點(diǎn)；

;

如圖中所示的點(diǎn)和點(diǎn)為上的強(qiáng)相似點(diǎn)；;

∵點(diǎn)是四邊形的邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，

∴，

∴，

由折疊可知：，

∴，，

∴，，

在中，，

∴，

∴．