Question

【題目】實踐操作在數學活動中，林老師按如下的步驟進行操作：如圖 (a)，①在△A OB內畫任意等邊三角形CDE，使點C在OA上，點D在OB上；②連接OE并延長，交AB于點E′，過點E′作C′E′∥CE，交OA于點C′，作D′E′∥DE，交OB于點D′，連接C′D′.林老師告訴同學們△C′D′E′是△AOB的內接等邊三角形．

(1)請證明林老師的結論；

(2)仿照林老師的操作步驟，請在圖(b)中作出內接正方形CDEF，要求DE在OB上，點C，F分別在OA，AB邊上．(不需要寫作圖過程，畫出圖形即可)

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 如圖見解析.

【解析】

（1）根據作法可知：C′E′∥CE， D′E′∥DE，可證得△CDE∽△C′D′E′，又∵△CDE是等邊三角形，可得△C′D′E′是△AOB的內接等邊三角形；

（2）仿照林老師的操作步驟，在靠近點O端作一個小正方形，正方形的三個頂點分別在OA和OB上，再過正方形的第四個頂點作射線OF，交AB于點F,然后分別做平行線可得到內接正方形CDEF。

(1)證明：∵C′E′∥CE，D′E′∥DE，

∴，，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，

∴，∠CED＝∠C′E′D′，

∴△CDE∽△C′D′E′.

又∵△CDE是等邊三角形，

∴△C′D′E′是等邊三角形，

∴△C′D′E′是△AOB的內接等邊三角形．

(2)如下圖所示，四邊形CDFE即為所求作的內接正方形。