Question

【題目】某班“手拉手”數(shù)學學習互助小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關系進行探究時，遇到以下問題，請你逐一加以解答：

（1）如圖1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F，GH分別交AD，BC于點G，H，則EF　 　GH；（填“＞”“=”或“＜”）

（2）如圖2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F，GH分別交AD，BC于點G，H，求證： =；

（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7．5，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）首先過點A作AP∥GH，交BC于P，過點B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T，然后根據正方形的性質以及△ABP≌△BCQ的判定與性質，即可得出EF=GH；

（2）首先過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，然后根據矩形的性質以及△PDA∽△QAB的判定與性質，即可得出；

（3）首先過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，判定平行四邊形ABSR是矩形，由（1）結論得出，然后判定△ARD∽△DSC，運用其性質和勾股定理構建方程，求解即可.

（1）如圖1中，過點A作AP∥GH，交BC于P，過點B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AD∥BC，AB=BC，∠ABP=∠C=90°

∴四邊形BEFQ、四邊形PHGA都是平行四邊形，

∴AP=GH，EF=BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°，

∴∠CBQ=∠BAT，

在△ABP和△BCQ中，

，

∴△ABP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∴EF=GH，

故答案為：=；

（2）過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖2，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，

∴AP=EF，GH=BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠QAT+∠AQT=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠D=90°，

∴∠DAP+∠DPA=90°，

∴∠AQT=∠DPA，

∴△PDA∽△QAB，

∴，

∴；

（3）過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，

則四邊形ABSR是平行四邊形．

∵∠ABC=90°，

∴平行四邊形ABSR是矩形，

∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．

∵AM⊥DN，

∴由（1）中的結論可得，

設SC=x，則AR=BS=3+x，

∵∠ADC=∠R=∠S=90°，

∴∠ADR+∠RAD=90°，∠ADR+∠SDC=90°，

∴∠RAD=∠CDS，

∴△ARD∽△DSC，

∴==，

∴DR=x，DS=（x+3），

在Rt△ARD中，∵AD2=AR2+DR2，

∴7.52=（x+3）2+（x）2，

整理得13x2+24x﹣189=0，解得x=3或﹣，

∴AR=6，AB=RS=，

∴=.