Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸的負半軸和正半軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為P，直線與過點B且垂直于軸的直線交于點D，且CP：PD=1：2，tan∠PDB=．

（1）請直接寫出A、B兩點的坐標：A ， B ；

（2）求這個二次函數的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上找一點M使|MC-MB|的值最大，則點M的坐標為____．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），A（-1，0）；（2）y=；（3）（1，-）．

【解析】

（1）先求得拋物線的對稱軸為x=1，然后利用平行線分線段成比例定理求得OE：EB的值，從而得到點B的坐標，利用拋物線的對稱性可求得點A的坐標；
（2）過點C作CF⊥PE，垂足為F．先求得點C和點P的坐標（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用銳角三角函數的定義可求得a的值，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得c的值；
（3）根據三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點A、C、M在同一直線上時|MC-MB|最大，設直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法求出一次函數解析式，再根據點M在對稱軸上代入計算即可得解．

解：（1）如圖所示：

∵由題意可知：拋物線的對稱軸為x=1，
∴OE=1．
∵OC∥PE∥BD，CP：PD=1：2，
∴ ．
∴BE=2．
∴OB=3．
∴B（3，0）．
∵點A與點B關于PE對稱，
∴點A的坐標為（-1，0）．
故答案是：-1，0；3，0；
（2）過點C作CF⊥PE，垂足為F．
將x=0代入得：y=c，
∴點C的坐標為（0，c）．
將x=1代入得y=-a+c．
∴點P的坐標為（1，-a+c）．
∴PF=a．
∵PE∥BD，tan∠PDB=，
∴tan∠CPF=tan∠PDB=．
∴ ．
解得a=．
將a=代入拋物線的解析式得：y=x2-x+c．
將點A的坐標代入得：+c=0，解得：c=-．
∴拋物線的解析式為y=．
（3）由三角形的三邊關系，|MC-MB|＜AC，
∴當點A、C、M在同一直線上時|MC-MB|最大，
設直線AC的解析式為y=kx+b，
則 ，
解得，
∴y=-x-，
∵拋物線對稱軸為直線x=1，
∴當x=1時，y=-×1-=-，
∴點M的坐標為（1，-）．
故答案是：（1，-）．