Question

【題目】如圖，已知和均為等腰三角形，，，將這兩個(gè)三角形放置在一起．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上，連接，則的度數(shù)為__________，線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系是__________；

（2）拓展探究

如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上，連接．請(qǐng)判斷的度數(shù)及線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）解決問(wèn)題

如圖③，，，，連接、，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）證明△ACE≌△ABD，得出CE=AD，∠AEC=∠ADB，即可得出結(jié)論；（2）證明△ACE∽△ABD，得出∠AEC=∠ADB，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出，①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，先判斷出四邊形APDE是矩形，求出AP=DP=AE=2，再根據(jù)勾股定理求出，BP=6，得出BD=4；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，同①的方法得，AP=DP=AE=1，BP=4，進(jìn)而得出BD=BP+DP=8，即可得出結(jié)論．

（1）在△ABC為等腰三角形，AC=BC，∠ACB=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB，∠CAB=60°，

同理：AE=AD，∠ADE=∠EAD=60°，

∴∠EAD=∠CAB，

∴∠EAC=∠DAB，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴CE=AD，∠AEC=∠ADB，

∵點(diǎn)B、D、E在同一直線(xiàn)上，

∴∠ADB=180°-∠ADE=120°，

∴∠AEC=120°，

∴

∵DE=AE，

∴BE=DE+BD=AE+CE，

故答案為60°，BE=AE+CE；

（2）．

理由如下：和均為等腰三角形， ，

，

，

，

，

點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上，

，

．

；

（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，

∴，

在Rt△ABC中，，

∴；

①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BD交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，

∵DE⊥BD，

∴∠PDE=∠AED=∠APD，

∴四邊形APDE是矩形，

∵AE=DE，

∴矩形APDE是正方形，

∴AP=DP=AE=2，

在Rt△APB中，根據(jù)勾股定理得，

∴BD=BP-AP=4，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，如圖④，

同①的方法得，AP=DP=AE=2，BP=4，

∴BD=BP+DP=8，

∴，

即：CE的長(zhǎng)為或．