Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，點(diǎn)M為AB邊上一點(diǎn)，AM＝4，點(diǎn)N為AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，沿MN將△AMN翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)P在菱形的對(duì)角線上時(shí)，AN的長(zhǎng)度為_____．

Answer 1

【答案】4或10﹣2．

【解析】

分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在菱形對(duì)角線上時(shí)，由折疊的性質(zhì)得：，，證出，得出；

②當(dāng)點(diǎn)在菱形對(duì)角線上時(shí)，設(shè)，由折疊的性質(zhì)得：，，，求出，證明，得出比例線段，可求出答案

解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在菱形對(duì)角線AC上時(shí)，如圖1所示：

由折疊的性質(zhì)得：AN＝PN，AM＝PM，

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴∠PAM＝∠PAN＝30°，

∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，

∴AN＝AM＝4；

②當(dāng)點(diǎn)P在菱形對(duì)角線BD上時(shí)，如圖2所示：

設(shè)AN＝x，

由折疊的性質(zhì)得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，

∵AB＝6，

∴BM＝AB﹣AM＝2，

∵四邊形ABCD是菱形，

，，

∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，

∴∠BPM＝∠DNP，

∴△PDN∽△MBP，

，即，

，

，

解得：或（不合題意舍去），

綜上所述，的長(zhǎng)為4或．

故答案為：4或．