Question

【題目】如圖，在等腰中，，，是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)沿方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從從頂點(diǎn)沿方向同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接，．

（1）求證：．

（2）判斷線段與的位置及數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與的面積之和是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）DE⊥DF，DE=DF，證明見(jiàn)解析；（3）△BDE與△CDF的面積之和始終是一個(gè)定值，這個(gè)定值為8．

【解析】

（1）由題意根據(jù)全等三角形的判定運(yùn)用SAS，求證即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)和垂線定義，進(jìn)行等量替換即可得出線段與的位置及數(shù)量關(guān)系；

（3）由題意根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC， 進(jìn)而分析即可得知與的面積之和.

解：（1）∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，

∴AD是BC邊上的高

又∵∠BAC=90°，

∴∠ABD=∠DAF=∠BAD=45°，

∴BD=AD

又由題意可知BE=AF，

∴△BDE≌△ADF(SAS).

（2）∵DE⊥DF，DE=DF,

理由如下：

∵△BDE≌△ADF，

∴DE=DF，∠BDE=∠ADF

∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，∠BDE+∠ADE=90°，

∴∠ADE+∠ADF=90°，DE⊥DF.

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BDE與△CDF的面積之和始終是一個(gè)定值

∵AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠BAC=90°，

∴AD=BD=BC=4

又∵△BDE≌△ADF

S△BDE+S△CDF=S△ADF+S△CDF=S△ADC

又∵S△ADC=S△ABC=．BC．AD=8

∵點(diǎn)E，F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADC的面積不變，

∴△BDE與△CDF的面積之和始終是一個(gè)定值，這個(gè)定值為8．