Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）

（1）求該二次函數的解析式；

（2）設E是y軸右側拋物線上異于點A的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH，則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；

（3）設P點是x軸下方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，求△PAC面積的取值范圍，若△PAC面積為整數時，這樣的△PAC有幾個？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），有5個．

【解析】試題分析：（1）設交點式為y=a（x+1）（x-3），然后把C點坐標代入求出a即可；

（2）設E（t，t2-2t-3），討論：當0<t<1時，如圖1，EF=2（1-t），EH=-（t2-2t-3），利用正方形的性質得2（1-t）=-（t2-2t-3）；當1<t<3時，如圖2，利用正方形的性質得2（t-1）=-（t2-2t-3），當t>3時，2（t-1）=t2-2t-3，然后分別解方程得到滿足條件的t的值，再計算出對應的正方形的邊長；

（3）設P（x，x2-2x-3），討論：當-1<x<0時，由于S△ABC=6，則0<S△APC<6，當0<x<3時，作PM∥y軸交AC于點M，如圖3，求出直線AC的解析式為y=x-3，則M（x，x-3），利用三角形面積公式得S△APC=3（-x2+3x），利用二次函數的性質得0<S△APC<，所以0<S△APC<6，于是得到△PAC面積為整數時，它的值為1、2、3、4、5．

試題解析：(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)(x3)，

把C(0,3)代入得3a=3，解得a=1，

所以拋物線解析式為y=(x+1)(x3)，

即y=x22x3；

(2)拋物線的對稱軸為直線x=1，

設E(t,t22t3)，

當0<t<1時,如圖1,EF=2(1t),EH=(t22t3)，

∵矩形EFGH為正方形，

∴EF=EH,即2(1t)=(t22t3)，

整理得t24t1=0,解得t1=2+ (舍去),t2=2 (舍去)；

當1<t<3時,如圖2,EF=2(t1),EH=(t22t3)，

∵矩形EFGH為正方形，

∴EF=EH,即2(t1)=(t22t3)，

整理得t25=0,解得t1=,t2= (舍去)，

此時正方形EFGH的邊長為22；

當t>3時,EF=2(t1),EH=t22t3,

∵矩形EFGH為正方形，

∴EF=EH,即2(t1)=t22t3，

整理得t24t1=0,解得t1=2+,t2=2 (舍去)，

此時正方形EFGH的邊長為2+2，

綜上所述正方形EFGH的邊長為22或2+2；

(3)設P(x,x22x3)，

當1<x<0時，

∵S△ABC=×4×3=6，

∴0<S△APC<6，

當0<x<3時,作PM∥y軸交AC于點M，如圖3，

易得直線AC的解析式為y=x3,則M(x,x3)，

∴PM=x3(x22x3)=x2+3x，

∴S△APC=×3(x2+3x)=x2+x=(x)2+，

當x=時,S△APC的面積的最大值為,即0<S△APC<，

綜上所述,0<S△APC<6，

∴△PAC面積為整數時，它的值為1、2、3、4、5，即△PAC有5個.