Question

2．如圖1，是H市人工天鵝湖畔的一尊雕塑A，雕塑A及另三個雕塑B、C、D的在湖岸邊的平面分布如圖2，某班綜合實踐小組分別在雕塑A、B兩處設(shè)置觀測點．在A處測得：雕塑B在西北方向，雕塑C在正北，雕塑D在北60°東；在B處測得：雕塑C在東北方向，雕塑D在正東．
（1）求證：AB=CB，AD=CD；
（2）已知AB=800米，求B、D之間的距離．（結(jié)果精確到1米）
（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 （1）由方向角的定義可知BD⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，∠CAD=60°，根據(jù)等角對等邊可證明AB=BC，然后依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證BD是AC的垂直平分線，從而得到CD=AD；
（2）在△AOB中依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得OB和OA的長，然后在△OAD中依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到OD的長，從而可求得BD的長．

解答 解：（1）設(shè)BD、AC交于點O．

∵由題意可知BD⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°，∠CAD=60°．
∴AB=BC．
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AO=OC．
∴BD是AC的垂直平分線．
∴DC=DA．
（2）在Rt△AOB中，AB=800，∠BAO=45°，
∴BO=AO=800×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=400$\sqrt{2}$．
在Rt△AOD中，AO=400$\sqrt{2}$，∠DAO=60°，
∴DO=400$\sqrt{6}$．
∴DB=BO+DO=400$\sqrt{2}$+400$\sqrt{6}$≈1544（米）．
∴BD之間的距離為1544米．

點評 本題主要考查的是解直角三角形的應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了等腰三角形的性質(zhì)和判定、特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)，依據(jù)方向角的定義找出圖中相關(guān)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．