Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C均在坐標(biāo)軸上，且OA=4，OC=3，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向終點(diǎn)B以同樣的速度移動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（0＜x＜4）時(shí)，過點(diǎn)N作NP⊥BC于點(diǎn)P，連接MP．

（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含x的式子表示）；

（2）設(shè)△OMP的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x）；（2）當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，最大值為；(3) M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形OABC中OA=4，OC=3以及矩形的性質(zhì)，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再由PG∥AB，得出△OPG∽△OBA，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）利用PG以及OM的長(zhǎng)表示出△OMP的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可；

（3）△OMP是等腰三角形時(shí)，分三種情況：①PO=PM；②OP=OM；③OM=PM．畫出圖形，分別求出即可．

試題解析：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）．

如圖，延長(zhǎng)NP，交OA于點(diǎn)G，則PG∥AB，OG=CN=x．

∵PG∥AB，

∴△OPG∽△OBA，

∴，即，解得PG=x，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x）；

（2）∵在△OMP中，OM=4-x，OM邊上的高為x，

∴S=（4-x）x=-x2+x，

∴S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為S=-x2+x（0＜x＜4）．

配方，得S=-（x-2）2+，

∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，最大值為；

（3）存在某一時(shí)刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：

①如備用圖1，

若PO=PM，則OG=GM=CN=x，

即3x=4，解得：x=，

所以M（，0）；

②如備用圖2，

若OP=OM，則=OM，

即x=4-x，解得：x=，

所以M（，0）；

③如備用圖3，

若OM=PM時(shí)，

∵PG=x，GM=OM-OG=（4-x）-x=4-2x，

∴PM2=PG2+GM2=（x）2+（4-2x）2，

∵OM=4-x，

∴（4-x）2=（x）2+（4-2x）2，解得：x=，

所以，M（，0）．

綜上所述，M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（，0）．